Es $(\int_0^t W_s ds, W_t)$ ¿Markov?

Question

Aproximación a $I_t = \int_0^t W_s ds$ por sumas de Riemann me he convencido de que no es Markov, pero me he encontrado con la afirmación de que $(I,W)$ es y no puedo entender por qué. ¿Tenéis alguna idea?

Answer 1

Dejemos que $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sea una función continua acotada. Para demostrar que $$M_t := (I_t,W_t) := \left( \int_0^t W_s \, ds, W_t \right)$$ es Markov, tenemos que demostrar que existe $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que

$$\mathbb{E}^x(f(M_t) \mid \mathcal{F}_s) = g(M_s)$$

para cualquier $s \leq t$ . Para ello, escriba

$$\begin{align*} f(M_t) &= f \left( \int_s^t W_r \, dr + \int_0^s W_r \, dr, (W_t-W_s)+W_s \right) \\ &= f \left( \int_s^t (W_r-W_s) \, dr + (t-s) W_s + I_s, (W_t-W_s)+W_s \right). \end{align*}$$

Ahora usa eso $(W_r-W_s)_{r \geq s}$ y $(W_t-W_s)$ son independientes de $\mathcal{F}_s$ para calcular la expectativa condicional.