Prueba de similitud de matrices (Mostrar matriz $B$ Nonsingular)

Question

Demuestre que si A es similar a $B$ y $A$ es no singular, entonces $B$ debe también ser no singular y $A^{-1}$ y $B^{-1}$ son similares:

Trabaja:

$A=S^{-1}BS$

$A^{-1}=(S^{-1}BS)^{-1}$

$A^{-1}=S^{-1}B^{-1}(S^{-1})^{-1}$

$A^{-1}=S^{-1}B^{-1}S$

Puedo demostrar que $A^{-1}$ y $B^{-1}$ son similares, pero No estoy seguro de cómo mostrar $B$ que es no singular.

Answer 1

$$A=S^{-1}BS\iff SAS^{-1}=B$$

Ahora multiplica ambos lados de la identidad por $SA^{-1}S^{-1}$

$$SA^{-1}S^{-1}SAS^{-1}=I=\left(SA^{-1}S^{-1}\right)B$$ $$SAS^{-1}SA^{-1}S^{-1}=I=B\left(SA^{-1}S^{-1}\right)$$

Y hemos encontrado $C=SA^{-1}S^{-1}$ tal que $BC=CB=I$

Answer 2

$$ A=S^{-1}BS \iff B=SAS^{-1} $$ Y el producto de matrices no singulares es no singular.

Answer 3

Excesivo: $$ 0 \neq \det(A) = \det(S^{-1}BS) = \det(S^{-1}) \det(B) \det(S) $$ Así que $\det(B) \neq 0$ .