Considerando Browniano puente acondicionado movimiento Browniano

Question

Deje $B$ ser un estándar de movimiento Browniano. Definir un puente Browniano $b$$b_t=B_t-tB_1$. Deje $\mathbb{W'}$ ser la ley de este proceso.

De acuerdo a Wikipedia,

Un puente Browniano es un tiempo continuo proceso estocástico B(t), cuya distribución de probabilidad es la probabilidad condicional de distribución de un proceso de Wiener W(t) (un modelo matemático del movimiento Browniano) dada la condición de que B(0) = B(1) = 0.

Seguramente no tiene sentido condición de una probabilidad de 0 evento? Así que estoy tratando de mostrar que $\mathbb{W'}$ es la debilidad de límite como $\epsilon\to 0$ de movimiento Browniano condicionada a que el evento $\{|B_1|\leq \epsilon\}$. ¿Cómo podemos demostrar esto?

Gracias.

Answer 1

El movimiento browniano $B_t$ sobre el intervalo de $[0,1]$ se puede descomponer en dos términos independientes. Es decir, el proceso de $X_t=B_t-tB_1$ y la variable aleatoria $Y=B_1$. Como estas son comunes normal, para demostrar que son independientes, es suficiente para demostrar que la covarianza ${\rm Cov}(X_t,Y)={\rm Cov}(B_t,B_1)-t{\rm Var}(B_1)=t-t$ se desvanece.

La distribución de $B$ condicional en $\vert B_1\vert < \epsilon$ es el mismo que el de $X$, más el independiente plazo $Y$ (condicionado a $\vert Y\vert < \epsilon$). Como $\epsilon$ va a cero, esto converge a la distribución de $X$, que es un puente Browniano.

Answer 2

La pregunta dice: "Ciertamente no tiene sentido condición de una probabilidad de 0 evento?"

Supongamos $X,Y$ conjunta de variables aleatorias distribuidas normalmente. "De manera conjunta" significa que cualquier combinación lineal de ellas es una variable aleatoria normalmente distribuida. Supongamos que sus medias y varianzas son $\mu_X$, $\mu_Y$, $\sigma_X^2$, y $\sigma_Y^2$, y su correlación es $\rho$. Es común leer en los libros de texto que la distribución condicional de $X$ dada la probabilidad-0 evento que $Y=y$ es normal con valor esperado $$E(X\mid Y=y) = \mu_X + \rho\sigma_X\left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)$$ and variance $$(1-\rho^2)\sigma_X^2.$$ Así que usted está acondicionado en una probabilidad de 0 evento.

Va un pequeño paso más, uno puede en la condición de una variable aleatoria en lugar de en un evento, y obtener $$E(X\mid Y) = \mu_X + \rho\sigma_X\left(\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right),$$ y que es una variable aleatoria en su propio derecho. Es la variable aleatoria cuya expecation que uno encuentra en la "ley de la total expectativa" $$ E(E(X\mid Y))=E(X), $$ y la "ley de la varianza total": $$ \operatorname{var}(X) = \operatorname{var}(E(X\mid Y)) + E(\operatorname{var}(X \mid Y)). $$