Suponga que $s(z)$ periodo $T$ y es analítica en la franja $|\mathrm{Im}(z)| < $ $a>\pi T$. Entonces yo reclamo que
No puedo actualmente averiguar si la condición de que $a>\pi T$ es necesario o un artefacto de la prueba método. Por reescalado $T$, podemos (y hacer) suponga que $T=1$ para el resto de esta respuesta, por lo que estamos suponiendo que $a>\pi$.
La linealidad de las relaciones entre los derivados:
Yo reclamo que
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2k+1} (2k+1)!} s^{(2k+1)}(z)=0.$$
He de remarcar que esta es sólo una de las muchas relaciones, y, en particular, la simple relación de $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} s^{(2k+1)}(z)=0$, también aplica en el caso de $s$ se extiende a un amplio y suficiente de la tira. Pero que más simple relación requiere (o al menos mi prueba de ello requiere) $a>2 \pi$ en vez de $a> \pi$.
En primer lugar, calcular, entonces, justificar. Deje que la serie de Fourier de $s$ se
$$s(z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} c_k e^{(2 \pi i) mz}.$$
Entonces
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{s^{(2k+1)}(z)}{2^{2k+1} (2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{ c_m (m \pi i)^{2k+1}}{(2k+1)!} e^{(2 \pi i) mz} = $$ $$\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_m e^{(2 \pi i) m z} \frac{e^{m \pi i} - e^{-m \pi i}}{2} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} 0.$$
Estas manipulaciones formales son justificados si el doble de la suma al final de la primera línea es absolutamente convergente. Los primeros pasos de nuestra sujeta es fácil:
$$\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left| \frac{ c_m (m \pi i)^{2k+1}}{(2k+1)!} e^{(2 \pi i) mz} \right| = \sum_{m=-\infty}^{\infty} |c_m| \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\pi |m|)^{2k+1}}{(2k+1)!} \leq \sum_{m=-\infty}^{\infty} |c_m| e^{\pi |m|}.$$
Ahora, $c_m = \int_0^1 s(z) e^{-m(2 \pi i)z} dz$. Desde $s(z)$ es periódica y analítica en la franja $|\mathrm{Im}(z)|<$, se puede deslizar esta integral hasta un segmento de línea en altura $b$ $b \(\pi,)$, y deducir $c_m = O(e^{-m b})$. Deslizando hacia abajo en lugar de eso, nos dan $c_m = O(e^{- a|m| b})$. Por lo que $\sum_{m=-\infty}^{\infty} |c_m| e^{\pi |m|}$ está delimitado por un múltiplo de la serie geométrica $\sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{(\pi-b) |m|}$ y ya está. $\square$.
Abarca A mostrar que los derivados de la $s$ abarcan las funciones periódicas, es suficiente para demostrar que la luz contiene $e^{i (2\pi i) z}$, para cualquier entero $r$. Definir
$$g(u) = (-1)^r \frac{e^{u/2} - e^{-u/2}}{u-r(2 \pi i)}$$
y vamos a
$$g(u) = \sum_{k=0}^{\infty} b_k u^k.$$
A continuación, las mismas manipulaciones como anteriormente muestran que
$$\sum_{k=0}^{\infty} b_k s^{(k)}(z) = \sum_{m=\infty}^{\infty} c_m g(m(2 \pi i)) e^{m (2 \pi i) z}.$$
Pero $g(m(2 \pi i))$ $1$ $m=r$ y $0$ de otra manera, hemos demostrado que $e^{i (2 \pi i)z}$ es en el lapso de los derivados.
Para justificar la formal manipuluations, uno necesita un atado como $|b_k| = O(1/(2^k k!))$. Usted debe ser capaz de conseguir esto de una integral de contorno en un cuadrado de lado de longitud $2k$, pero es un poco de trabajo, así que voy a mantener la escritura de hasta puedo saber si la necesitas realmente para algo. (Y hasta yo a ver si a alguien se le ocurre un mejor método que permite que cualquier positivo de $a$, no solo a $a > \pi$.)
