¿La cadena de números primos contiene todos los números naturales?

Question

¿La cadena de números primos$$2357111317\ldots$ $ contiene todos los números naturales como su subcadena?

Answer 1

Se sigue del teorema de Dirichlet.

Si$d$ es el número que queremos encontrar, defina$s=10d+1$. Por definición,$\gcd(s,10)=1$ y$s$ contienen los dígitos de$d$.

El teorema de Dirichlet implica que hay un número primo de la forma$p:=s+k \times 10^n$ donde se elige$10^n$ para que tenga tantos ceros como dígitos de$s$. Los dígitos de$d$ aparecen en los dígitos de$p$ y, por lo tanto, en la cadena de números primos dada.

Answer 2

Sea$n$ un número natural y$\mathcal N(n)$ el conjunto de números naturales que no contienen$n$ como subcadena cuando se escriben en base 10. Es bien sabido que$\sum_{k\in \mathcal N(n)}\frac{1}{k}$ converge.

Sea$\mathcal P$ el conjunto de números primos. También es bien sabido que$\sum_{p \in\mathcal P}\frac{1}{p}$ diverge.

Por lo tanto, no puede ser el caso de que$ \mathcal P\subseteq\mathcal N(n)$, y$n$ sea, por lo tanto, una subcadena de algún primo (de hecho, de un número infinito de primos).

Answer 3

Se deduce del hecho de que la constante de Copeland-Erdös es un número normal.

Para cualquier número natural$N$ con$k$ dígitos,$N$ aparece en la constante de Copeland-Erdos con una densidad natural de$10^{-k}$.