Probar esta desigualdad $a^{\frac{a}{b}}b^{\frac{b}{c}}c\geq1$

Question

Por favor me ayude a probar esta desigualdad.

Suponga $a,b,c>0$$abc\geq1$$a^{\frac{a}{b}}b^{\frac{b}{c}}c\geq1$.

Gracias.

Answer 1

Parece que la desigualdad no tiene. Por ejemplo, tomar $a = e^{-1}$, $b=10^{-5}$, y $c=\frac{1}{ab}$. A continuación, $a^{a/b}b^{b/c}c$ sería cercano a cero.

Piense en el caso $a=e^{-1}$, $c=\frac{e}{b}$ y $b\to 0^+$. Nos gustaría tener $$S = \frac{a}{b}\log a +\frac{b}{c}\log b + \log c \geq 0.$$ However, $S = -\frac{1}{be}+\frac{b^2}{e}\log b-1-\log b$ and as $b\to 0^+$ the first term dominates and $S\- \infty$.

Answer 2

Creo que el derecho de la desigualdad es:

$a^{\frac{a}{b}}b^{\frac{b}{c}}c^{\frac{c}{a}} \ge 1$

para probar que es para probar $\dfrac{a}{b}\log{a}+\dfrac{b}{c}\log{b}+\dfrac{c}{a}\log{c} \ge 0$

deje $abc=1 \to a=\dfrac{1}{bc}$

LHS=$(b^3-1)\log{b}+(b^3c^3-1)\log{c}$

es trivial cuando se $b>1$ y $c>1$, $b<1$ y $c<1$, LHS $> 0$

al $b<1, c>1$ si $b^3c^3 >1$, LHS $>0$

tan solo comprobamos $b^3c^3<1$, es decir ,$1<c<\dfrac{1}{b}$ , en este caso,

$0<\log{c} <-\log{b},0<1-b^3c^3<1-b^3 \implies (b^3c^3-1)\log{c}>(1-b^3)\log{b} \implies $ LHS$>0$

con la misma metodología, también se puede obtener al $b>1, 1>c>\dfrac{1}{b}$, LHS$>0$, cuando se $b>1, c<\dfrac{1}{b}$, es trivial LHS$>0$

desde $(b^3-1)\log{b}\ge 0$, cuando y sólo cuando $b=1$ "$=0$ " se mantiene, si LHS $=0 \implies b=1, c=1 \implies a=1$

no es difícil demostrar al $abc>1,a^{\frac{a}{b}}b^{\frac{b}{c}}c^{\frac{c}{a}}>x^{\frac{x}{y}}y^{\frac{y}{z}}z^{\frac{z}{x}}$donde$xyz=1 $$a=px,b=py,c=pz, abc=p^3xyz,p>1$,