Demostrar que existe $c,d\in(a,b)$ tal que $\frac{f'(c)}{f'(d)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-d}$

Question

Supongamos que $f$ es diferenciable en $(a,b)$ y continua en $[a,b]$ , $f'(x)\neq0$ .

Obviamente está relacionado con el teorema del valor medio, así que estaba pensando Sea $g(x)=e^xf(x)$ y aplicando el teorema del valor medio, pero eso no funcionó bien ¿acaso el $f'(x)\neq0$ ¿significa que se necesita una monotonicidad estricta para demostrarlo? ¿O es sólo por el denominador de la pregunta? ¡Cualquier halp sería apreciado! Gracias！

Answer 1

Por el MVT, existe algún $c \in (a, b)$ tal que $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$ Además, considere $g(x) = f(\ln(x))$ en el intervalo $[e^a, e^b]$ . Entonces, también por el MVT, existe algún $d$ tal que $e^d \in (e^a, e^b)$ y $$e^{-d}f'(d) = \frac{1}{e^d} f'(\ln(e^d)) = \frac{f(\ln(e^b)) - f(\ln(e^a))}{e^b-e^a} = \frac{f(b) - f(a)}{e^b - e^a}.$$ Tomando el cociente se obtiene el resultado deseado.

Answer 2

Reconocemos que el término $\frac{e^b - e^a}{b-a}$ se asemeja a la forma dada por el Teorema del Valor Medio, es decir $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ para $a < c < b$ .

Dejemos que $f(x) = e^x$ y nota que $f$ es diferenciable en $(a, b)$ , continua en $[a, b]$ y $f'(x) \ne 0$ . Entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe $c$ en $(a,b)$ tal que

\begin{align*} f'(c) &= \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \\ &= \frac{e^b - e^a}{b-a} \end{align*}

Dividiendo ambos lados por $f'(d) = e^d$ obtenemos

\begin{align*} \frac{f'(c)}{f'(d)} &= \frac{e^b - e^a}{b-a} \cdot \frac{1}{f'(d)} \\ &= \frac{e^b - e^a}{b-a} \cdot e^{-d} \end{align*}