En un diagrama de Argand, esboza los lugares de los puntos que representan los números complejos $w$ y $z$ tal que $|w 1 2i|= 1$ y $\arg(z-1)=\dfrac{3}{4}\pi$ .
Encuentre el menor valor de $|w-z|$ para los puntos de estos loci.
Mi intento, ya he dibujado el loci de w. Pero no sé cómo dibujar el de arg. Puede alguien explicarme como dibujar y como encontrar el menor valor. Muchas gracias.
Enfoque básico. El lugar de $\arg (z-1) = \frac{3\pi}{4}$ es el conjunto de puntos $z$ para el que una semirrecta trazada desde el punto representado por $1$ en el plano complejo, a través de $z$ hace un ángulo de $\frac{3\pi}{4}$ con el eje real.
Eso también debería decirte qué punto del lugar de $w$ es el más cercano al lugar de $z$ : Dibuja una línea desde $1+2i$ perpendicular al rayo que representa el lugar de $z$ . Donde esa línea se cruza con los loci de $w$ y $z$ son los puntos deseados.
Queremos, como es evidente en la imagen, que el punto de $\operatorname{arg}(z-1)=\dfrac {3\pi}4$ ( $y=-x+1$ ) que está más cerca del centro, $(1,2)$ del círculo.
Es fácil ver que $\operatorname{arg} z=\dfrac{3\pi}4 $ es la línea $y=-x$ . Ahora sólo hay que sustituir $x$ por $x-1$ para conseguir $y=-x+1$ para $\operatorname{arg}(z-1)=\dfrac{3\pi}4$ .
Por lo tanto, la línea a través de $(1,2)$ y perpendicular a $y=-x+1$ se cruzará con $y=-x+1$ en el punto más cercano. La ecuación de esa línea es $y=x+1$ . Obtenemos $(0,1)$ como el punto de $y=-x+1$ más cercano al círculo.
Enchufando $y=x+1$ en la ecuación del círculo y resolviendo, obtenemos que $(1-\dfrac {\sqrt2}2,2-\dfrac{\sqrt2}2)$ es el punto del círculo más cercano a la línea $y=-x+1$ . (Aunque el problema no pedía esta información).
En cualquier caso, ahora tenemos dos formas de calcular la distancia mínima. Una es calcular la distancia entre $(0,1)$ y $(1,2)$ y luego restar el radio. Obtener $\sqrt2-1$ .
O $\operatorname{min}\mid w-z\mid=\mid i-((1-\dfrac {\sqrt2}2)+(2-\dfrac {\sqrt2}2)i)\mid=\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1$ .
(Por supuesto, que estos dos salgan iguales es perfectamente trivial).
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