Cómo demostrar que una función sólo produce resultados enteros

Question

Dada la secuencia $a_n = 2^n-1,$ demostrar que $$\frac{a_na_{n-1}...a_{n-k+1}}{a_ka_{k-1}...a_1},$$ es siempre un número entero para $0\leq k \leq n$ .

En otras palabras, demuestre que el producto de $k$ términos consecutivos de la secuencia es un múltiplo entero del producto del primer $k$ términos consecutivos.

¿Y si la secuencia es $a_n = n(n+1)$ ?

Answer 1

Se trata de una forma especial del $q$ -coeficiente binomial (especial, porque $q=2$ en la pregunta), y estos son enteros, como se describe en detalle aquí: https://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html