Según este página, las matrices de rotación 4D isoclínicas a la izquierda son rotaciones dobles del mismo ángulo (y del mismo signo). Pero en la misma página, en el contexto de los cuaterniones, se menciona que las matrices isoclínicas de izquierda tienen la forma $$R=\begin{bmatrix}a&-b&-c&-d \\ b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{bmatrix}$$ donde $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tal que $$a^2+b^2+c^2+d^2=1.$$ Mi pregunta es, ¿cómo podemos ver $R$ como una doble rotación? Es decir, ¿cómo podemos encontrar el ángulo común? Si dos de $b,c,d$ son $0$ entonces es fácil de ver. Pero, ¿y si no es así?
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echinodermata
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Para esta matriz, $a$ es el coseno del ángulo de rotación.
Esbozo de prueba: Primero hay que demostrar que $R$ es una matriz ortogonal, por lo que $|Ru| = |u|$ para todos $u$ . Recordemos que $u^T v =|u| |v|\cos\theta$ donde $\theta$ ángulo entre dos vectores $u$ y $v$ . Entonces, para calcular el ángulo entre $u$ y $Ru$ , demuestran que $u^T R u = a u^T u$ .
Siempre hay muchas maneras de dividir $\Bbb{R}^4$ en una suma directa de dos planos, estables bajo $R$ (y, por tanto, ambos girados con el mismo ángulo).
Los valores propios de $R$ son complejas, $\lambda_{\pm}=a\pm i\sqrt{b^2+c^2+d^2}$ , ambos con multiplicidad dos. Sea $\vec{v}_1, \vec{v}_2\in\Bbb{C}^4$ sean dos vectores propios linealmente independientes pertenecientes a $\lambda_+$ . Entonces sus conjugados complejos en sentido de las componentes $\vec{v}_1^*$ y $\vec{v}_2^*$ pertenecen a $\lambda_-$ . Considere los espacios $$ T_j=\{z\vec{v}_j+z^*\vec{v}_j^*\mid z\in\Bbb{C}\}, $$ $j=1,2$ . Claramente $T_1$ y $T_2$ son ambos subconjuntos de $\Bbb{R}^4$ y $2$ -espacios vectoriales de dimensiones sobre $\Bbb{R}$ . Además $$ R(z\vec{v}_j+z^*\vec{v}_j^*)=\lambda_+z\vec{v}_j+\lambda_-z^*\vec{v}_j^*\in T_j, $$ por lo que los dos planos son estables bajo $R$ .
Sustitución de $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ con un par diferente producirá diferentes pares de planos.
El ángulo común de rotación (suponiendo que se normaliza a un cuaternión unitario) es $\arccos a$ .
runway44
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Fíjate en la primera columna. Esta es la matriz de multiplicación por la izquierda $(a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k})$ . Podemos escribir este cuaternión en forma polar como $ a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}=\exp(\theta\mathbf{u}) $ .
Resolver las incógnitas $\theta$ y $\mathbf{u}$ con la fórmula de Euler se obtiene
$$ \begin{cases} \cos\theta=a \\ \sin\theta=\sqrt{b^2+c^2+d^2} \end{cases}, \qquad \mathbf{u}=\frac{~~~~b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2}}. $$
El ángulo $\theta$ es convexo y $\mathbf{u}$ es un vector unitario. Si ampliamos $\{\mathbf{u}\}$ a una base ortonormal (adecuadamente orientada) $\{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}$ para $\mathbb{R}^3$ entonces $\{1,\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\}$ es una base ortonormal para $\mathbb{H}$ con la misma orientación y tabla de multiplicación que $\{1,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$ .
Con respecto a este la transformación actúa como una rotación por $\theta$ en el orientado $1\mathbf{u}$ -y su complemento ortogonal, el plano orientado $\mathbf{vw}$ -plano. ( Ejercicio .)
Hay más de una forma de elegir un par de planos estables orientados y ortogonales. Los planos estables para $\exp(\theta\mathbf{u})$ son las mismas que las de la multiplicación por $\mathbf{u}$ . Multiplicando por $\mathbf{u}$ es una estructura compleja en $\mathbb{H}$ lo que lo convierte en un espacio vectorial complejo izquierdo, por lo que los planos estables son precisamente los subespacios complejos 1D. Esto forma la línea proyectiva compleja $\mathbb{CP}^1\simeq S^2$ , difeomorfo a la esfera de Riemann por proyección estereográfica.
(El espacio de todo planos orientados en 2D en el espacio real de 4D es el grassmaniano real $\mathrm{Gr}_2\mathbb{R}^4\simeq S^2\times S^2$ que también se puede mostrar de un par de maneras usando cuaterniones).
