Puede cada función real se representa como dos desplazado incluso funciones?

Question

Vi el teorema de que cada función puede ser representada como la suma de y par e impar de la función, y esto me hizo preguntarme: ¿cada una de las funciones de los reales a los reales, definidas en todos los reales, ser representado como la suma de dos funciones que son cada simétrica alrededor (posiblemente distinta) en el eje vertical de simetría?

Esto parece falso para mí, pero es más difícil de lo que yo esperaba encontrar un contraejemplo. Por ejemplo, cuando se trata de descomponer f(x)=x, de esta manera, uno puede ver fácilmente que si nuestras funciones son a(x) y b(x), y que podemos traducir y tramo, por lo que tenemos que resolver las ecuaciones funcionales:

$a(x)+b(x)=x$

$a(-x)=a(x)$

$b(x)=b(1-x)$

pero no veo una contradicción evidente.

Es una descomposición siempre es posible?

Answer 1

Sí. He aquí un boceto: dada una función de $f(x)$ vamos a definir las funciones de $f_0(x), f_1(x)$ tal que $f(x) = f_0(x) + f_1(x)$ $f_i$ es simétrico con respecto al $i$. Procedemos por inducción:

• En $[0, 1]$, definir $f_0(x) = f(x), f_1(x) = 0$.
• Por la simetría de esta única que define a $f_0(x)$ $[-1, 1]$ y define $f_1(x)$$[0, 2]$.
• Definir $f_0(x)$ $(1, 2]$ únicamente para que $f(x) = f_0(x) + f_1(x)$. Hacer lo mismo a$f_1(x)$$[-1, 0)$.
• Por la simetría de esta única que define a $f_0(x)$ $[-2, 2]$ y define $f_1(x)$$[-1, 3]$.
• Etc.

El punto es que en cada paso hay nada que te impida continuar la construcción. Además, no es necesario elegir, excepto en el primer paso (lo que demuestra que esta descomposición, a diferencia de la descomposición de una función en pares e impares partes, no es única).

Answer 2

Aquí está una mentalidad muy simple respuesta para la función de $f(x)=x$ mencionado en el post.

Deje $a(x)=x^2+1/4$ y deje $b(x)=-(x-1/2)^2$. La primera función es simétrica alrededor de $x=0$, y el segundo acerca de la $x=1/2$.

O más simétricamente deje $a(x)=(x+1)^2/4$$b(x)=-(x-1)^2/4$.

La idea puede extenderse fácilmente arbitraria de polinomios. Dado un polinomio $P(x)$ con coeficientes reales, se pueden producir explícita polinomios $a(x)$, $b(x)$ simétrico con respecto al $0$$1$, respectivamente, tal que $a(x)+b(x)$ es idénticamente igual a $P(x)$.