¿Es el coeficiente de pecado imaginario en el caso complejo-conjugado de una EDO de segundo orden, lineal y homogénea con coeficientes constantes?

Question

Mis apuntes del curso (Licenciatura en Matemáticas, módulo de segundo año sobre ecuaciones diferenciales, sin publicar) dicen que, dada una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, $$ay''+by'+cy=0,$$ si el discriminante $b^2-4ac$ de la ecuación auxiliar es negativa, entonces las raíces son un par complejo conjugado $\sigma\pm i\omega$ y la solución general se puede escribir $$y(x)=e^{\sigma x}[A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)].$$

Creo que $B$ debe ser imaginario. ¿Estoy en lo cierto?

Este es mi razonamiento.

Editar 1: acaba de ver mi $C,D$ desaparecen sin explicación; ahora estoy trabajando para corregirlo.

Editar 2: Arreglado, creo; intentaré ponerlo en orden.

Answer 1

No, $\ B\ $ no tiene por qué ser imaginario. Hay algunos errores algebraicos en tu derivación, pero el principal problema de tu conclusión es que parece basarse en una suposición injustificada de que $\ C\ $ y $\ D\ $ debe ser real números. He aquí una derivación más sencilla de las relaciones entre $\ A,B,C\ $ y $\ D\ $ : \begin{align} e^{\sigma x}\Big(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\Big)&=e^{\sigma x}\Big(A\Big(\frac{e^{i\omega x}+e^{-i\omega x}}{2}\Big)+B\Big(\frac{e^{i\omega x}-e^{-i\omega x}}{2i}\Big)\Big)\\ &=e^{\sigma x}\Big(De^{i\omega x}+Ce^{-i\omega x}\Big)\ , \end{align} donde $\ D=\frac{A-iB}{2}\ $ y $\ C=\frac{A+iB}{2}\ $ de lo que se desprende que cuando $\ A\ $ y $\ B\ $ son ambos reales, y $\ B\ne0\ $ entonces $\ C\ $ y $\ D\ $ son ambos complejos con partes imaginarias no nulas.