Expresar una función como diferencia de funciones convexas (DC)

Question

¿hay una manera de expresar la función $$1-\exp \Big( \frac{-\max(0,x)^2}{\alpha} \Big)$$ como la diferencia de dos funciones convexas (DC)?

Gracias

Answer 1

Cualquier función suave puede descomponerse en una diferencia de funciones convexas. En este caso, debería funcionar lo siguiente.

Queremos $f(x)=g(x)-h(x)$ , donde $g$ y $h$ son las funciones convexas. Dado que $f$ es convexo para $x < \sqrt{2 \alpha}$ y cóncavo para $x > \sqrt {2\alpha}$ podemos dejar que $g=f$ para $x < \sqrt{2 \alpha}$ y $g$ sea lineal para $x > \sqrt {2\alpha}$ . Entonces, al igualar las derivadas obtenemos:

$$ g(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\ 1 - e^{-x^2/\alpha} & 0<x\le \sqrt{2\alpha} \\ 1 - e^{-2}\left(\sqrt\frac{8}{\alpha} x - 3\right) & x > \sqrt{2\alpha} \end{cases} $$

$$ h(x) = \begin{cases} 0 & x\le \sqrt{2\alpha} \\ e^{-x^2/\alpha} - e^{-2}\left(\sqrt\frac{8}{\alpha} x - 3\right) & x > \sqrt{2\alpha} \end{cases} $$