¿Es una combinación lineal positiva de $n$ los vectores linealmente independientes siempre tienen un ángulo agudo con al menos un vector?

Question

(edición: parece que he causado cierta confusión al llamar a mis vectores vectores base, lo que (supongo) implicaba que son ortonormales).

¿Una combinación lineal de $n$ los vectores linealmente independientes (no necesariamente ortogonales) con sólo coeficientes no negativos siempre tienen un ángulo agudo con al menos uno de los vectores?

Estoy escribiendo mi tesis de licenciatura sobre álgebras de Lie simples y sistemas de raíces y necesitaba este rápido enunciado de álgebra lineal. Parece muy obvio (por ejemplo, en 2 o 3 dimensiones), pero no consigo encontrar su demostración. Estaba pensando en la inducción a la dimensión $n$ pero no conseguí completar una prueba. Me siento un poco avergonzado por no ser capaz de encontrar la solución a un problema tan sencillo, pero quizás sea menos obvio de lo que creo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

No sé si a alguien le importa, pero he encontrado la prueba con la ayuda de mi supervisor.

Dejemos que $(p_i)_{1\leq i\leq n}$ sean los vectores linealmente independientes. Sea $r$ es una combinación lineal positiva de ellos, digamos $r=\sum_{i=1}^n\lambda_ip_i$ con $\lambda_i\geq 0$ .

En cambio, supongamos que $(r,p_i)\leq 0$ para todos $p_i$ . Del álgebra lineal sabemos que una base $(p_i^*)_{1\leq i \leq n}$ llamada base dual, existe tal que $(p_i^*,p_j)=\delta_{ij} \ \forall_{1\leq i,j\leq n}$ . En esta base tenemos $r=\sum_{i=1}^n\mu_ip_i^*$ . Ahora para todos $j$ $0\geq (r,p_j)=(\sum_{i=1}^n\mu_ip_i^*,p_j)=\sum_{i=1}^n\mu_i\delta_{ij}=\mu_j.$ Al mismo tiempo $0<(r,r)=(\sum_{i=1}^n\mu_ip_i^*,\sum_{j=1}^n\lambda_jp_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu_i\lambda_j(p_i^*,p_j)=\sum_{i=1}^n\mu_i\lambda_i.$ Esto es obviamente imposible ya que $\mu_i\lambda_i\leq 0$ para todos $i$ . Así que, por contradicción, debe haber habido un $p_i$ tal que $(r,p_i)>0$ .

Answer 2

Una estrategia para mostrar esto sería la siguiente -- estoy asumiendo que agudo significa estrictamente entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ . En primer lugar vamos a suponer que todo está normalizado ( $a \neq 0$ si no, "ángulo" no está definido) -- la norma no afecta al ángulo. Sea $\{x_1,x_2, \dots, x_n\}$ sea una base ortonormal y que $a = \sum_i c_i x_i$ donde $c_i \geq 0$ y son tales que $a$ tiene norma unitaria.

Ahora considere el ángulo entre $a$ y $x_1$ es decir, $\theta_1 = \mathrm{arccos}(a \cdot x_1) = \mathrm{arccos}(c_1)$ . Obsérvese que como $0 \leq c_1 \leq 1$ debemos tener $\theta_1 \in [-\pi/2, \pi/2]$ y $\theta_1 = \pi/2$ o $-\pi/2$ sólo cuando $c_1 = 0$ . Por lo tanto, si queremos $a$ a no tienen un ángulo agudo con el vector base $x_1$ entonces debemos tener $c_1 = 0$ .

Repitiendo este argumento para todos los demás vectores de base encontramos que tenemos que establecer cada $c_i = 0$ para evitar formar un ángulo agudo con el vector base $x_i$ . Pero entonces debemos tener $a=0$ y por tanto no podemos encontrar un vector que no tenga un ángulo agudo con al menos uno de los vectores base.

Answer 3

Sí. Supongamos que $e_1,\ldots,e_n$ son vectores base y $v=\sum\alpha_k e_k$ con todos $\alpha$ es positivo. Entonces $0\lt\langle v,v\rangle=\sum\langle e_k,v\rangle\alpha_k$ por lo que debemos tener $\langle e_k,v\rangle\gt 0$ para al menos una $k$ lo que implica que el ángulo entre esos vectores está entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ .