¿Cuál es la relación entre las distribuciones poisson, gamma y exponencial?

Question

Me cuesta entender la relación intuitiva entre estas tres distribuciones. Pensaba que poisson es lo que se obtiene al sumar n números de variables distribuidas exponencialmente, pero parece que gamma es lo mismo... ¿Podría alguien describir la relación en términos sencillos?

Answer 1

Las distribuciones de Poisson y exponencial están muy relacionadas pero son fundamentalmente diferentes porque la de Poisson es discreta (una variable de recuento) y la exponencial es continua (una espera tiempo ).

Entonces, ¿qué relación tienen?

Si el tiempo entre un determinado tipo de evento se distribuye exponencialmente con la tasa $\lambda$ entonces el número de eventos en un periodo de tiempo dado de longitud $t$ sigue una distribución de Poisson con parámetro $\lambda t$ .

Por ejemplo, si las estrellas fugaces aparecen en el cielo a un ritmo de $\lambda$ por unidad de tiempo, entonces el tiempo que espera hasta ver su primera estrella fugaz se distribuye exponencialmente con la tasa $\lambda$ . Si observas el cielo nocturno para $t$ unidades de tiempo, entonces podría ver $0, 1, 2, ...$ estrellas fugaces. El número de estrellas fugaces que cuentas en este tiempo es un $\text{Poisson}(\lambda t)$ variable aleatoria.

Pero si se pregunta, ¿cuánto tiempo debo esperar antes de ver $n$ ¿las estrellas fugaces?

La respuesta es una suma de variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente, y sigue una $\text{gamma}(\lambda, n)$ distribución (también llamada a veces Distribución Erlang para distinguirla de la distribución gamma general donde $n$ puede ser un número no entero).