Relación entre el espacio de columnas de una matriz $A$ y sus columnas no libres (pivote)

Question

Dado un $m\times n$ matriz $A$ con $m\leq n$ con el rango de $A$ siendo menor que $n$ ¿es necesariamente cierto que las columnas de $A$ que representan las variables libres son combinaciones lineales de las columnas pivote? Si tengo que averiguar el espacio de columnas de $A$ sin tener que calcular cuáles de las columnas son redundantes (es decir, combinaciones lineales de otras columnas), ¿puedo decir con seguridad que $C(A)$ es la extensión de todas (y sólo) las columnas pivote en $A$ ? Estuve viendo un vídeo de Khan Academy en el que parecía que esto era así, al menos para el ejemplo dado... pero no sé si se generaliza para todas las matrices $A$ donde el espacio nulo no es igual a $\{\vec{0}\}$

Ejemplo:

$$A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Su espacio de columnas es el tramo de los dos vectores $\left[\begin{array}{r}1\\2\\3 \end{array}\right]$ y $\left[\begin{array}{r}1\\1\\4\end{array}\right]$ que casualmente son las dos únicas columnas pivotantes. Las otras dos son columnas de variables libres.

Answer 1

Esto es cierto para todas las matrices. Las operaciones elementales de fila preservan las relaciones lineales entre las columnas de una matriz. Supongamos que tenemos una matriz $A$ con columnas $\mathbf{a}_i$ junto con el Formulario de Echelon de Fila Reducida $R$ con columnas $\mathbf{r}_i$ . Entonces, para cualquier conjunto de coeficientes $c_i$ tenemos $$\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{a}_i = \mathbf{0}\iff \sum_{i=1}^nc_i\mathbf{r}_i = \mathbf{0}$$ Las columnas pivotantes en $R$ corresponden a una base para el espacio de columnas de $R$ se deduce que las mismas columnas en $A$ forman una base para el espacio de columnas de $A$ .

Answer 2

No es necesariamente cierto. Tenemos un resultado que dice

Si las matrices $A$ y $B$ están relacionados por una operación de fila elemental, entonces sus espacios de fila son iguales. Por lo tanto, las matrices equivalentes en fila tienen el mismo espacio de fila y, por lo tanto, también el mismo rango de fila.

Pero con el espacio de la columna es diferente, otro resultado relacionado es

Las operaciones de fila no cambian el rango de la columna.

que no dicen nada sobre el espacio de las columnas, sólo el rango de las mismas. Por ejemplo, considere el efecto sobre el espacio de columnas de esta reducción de filas

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}} \right)\mathop \to \limits^{ - 2{\rho _1} + {\rho _2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ \end{array}} \right).$$

El espacio de columnas de la matriz de la izquierda contiene vectores con segunda componente que es distinta de cero. Pero el espacio de columnas de la matriz de la derecha es diferente porque sólo contiene vectores cuya segunda componente es cero.

Los comentarios anteriores dicen que no podemos, siempre, expresar el espacio de columnas de una matriz inicial como span de las columnas pivote de la forma escalonada de esta matriz porque, como el ejemplo anterior, puede cambiar con las operaciones de fila. Lo único que no cambia es el rango de columna .