una pequeña "paradoja" en la cohomología local de los ideales de dimensión cero

Question

Dejemos que $S = k[x_1,x_2,x_3]$ sea un anillo polinómico de dimensión $3$ sobre un campo infinito, y sea $I$ sea un ideal homogéneo de altura $3$ . Desde $S$ no tiene divisores cero, la dimensión de Krull de $I$ es $3$ . Desde $\dim S/I =0$ , $I$ contiene una potencia del ideal irrelevante y por eso su profundidad es $3$ también. Entonces, por el teorema de fuga de Grothendieck sobre cohomología local (por ejemplo, B&H, Thm. 3.5.7) debemos tener que $H_{\mathfrak{m}}^3(I) \neq 0$ y $H_{\mathfrak{m}}^i(I)=0, \, \forall i< 3$ . Ahora, tenemos una secuencia exacta $$\begin{align} H_{\mathfrak{m}}^i(S) \rightarrow H_{\mathfrak{m}}^i(S/I) \rightarrow H_{\mathfrak{m}}^{i+1}(I) \rightarrow H_{\mathfrak{m}}^{i+1}(S). \, \, \, (\dagger) \end{align}$$ De nuevo por el teorema de la fuga, debemos tener que $H_{\mathfrak{m}}^i(S)=0, \, \forall i<3$ y $H_{\mathfrak{m}}^0(S/I) \neq 0$ . Sustituyendo $i = 0$ en $(\dagger)$ obtenemos $0 \neq H_{\mathfrak{m}}^0(S/I) \cong H_{\mathfrak{m}}^1(I)$ .

Esto es una contradicción con la conclusión anterior de que $H_{\mathfrak{m}}^i(I)=0, \, \forall i< 3$ . Ahora sospecho que esta conclusión anterior es errónea, pero no puedo ver por qué, ya que estoy viendo $I$ como $S$ -y simplemente estoy aplicando el teorema de fuga.

PS : Hay una tendencia en la literatura del álgebra conmutativa a referirse implícitamente a $S/I$ cuando se habla de atributos de $I$ (no siempre, pero a veces). Así que quizás apliqué erróneamente la definición de dimensión de $I$ . Lo que sí encuentro confuso es que cuando tenemos un teorema que se sostiene para cualquier $S$ -Módulo $M$ entonces si sustituimos $I$ la afirmación resultante debe ser verdadera. Desde este punto de vista, ¿cuál es su opinión sobre mi pequeña "paradoja" presentada anteriormente?

Answer 1

¿Por qué cree que $\operatorname{depth}_SI=3$ ? Yo diría que es $1$ .