Por favor, ayúdenme a entender las 'flechas' (morfismos) en la teoría de las categorías. Para una Categoría A dejemos que los números naturales sean 'objetos' y supongamos que quiero definir la suma (+) como la composición, entonces ¿cómo puedo definir la 'flecha'? (Lo siento si la pregunta no tiene mucho sentido, todavía estoy tratando de entender los fundamentos de la teoría de las categorías. Todo lo que entiendo sobre las flechas es que puede ser cualquier cosa y puede no ser realmente un mapeo de un conjunto a otro)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que sus números naturales contienen $0$ . Para $a,b$ números naturales, dejemos que $\hom(a,b)$ estar vacío si $b< a$ y si no, que contenga un solo elemento/flecha que tome $a$ a $b$ por lo que la adición por $b-a$ .
Entonces tiene una identidad en $\hom(a,a)$ y la composición es asociativa y corresponde a la suma.
No estoy completamente seguro de que esto sea lo que tiene en mente. En mi opinión, se trata de un ejemplo poco habitual para entender las categorías, pero ya que lo has preguntado... :-)
En vista de los comentarios: como dijo Qiaochu Yuan parece más natural tener una categoría con un objeto el objeto es los números naturales . Para las instalaciones fijas $a$ el mapa $f_a: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ , $x \mapsto x+a$ es entonces un elemento de $\hom(\mathbb{N}, \mathbb{N})$ y digamos que estos son todos los elementos del hom-set.
Composición de $f_a \circ f_b$ es $f_{a+b}$ Esto es asociativo, y también tienes un elemento de identidad $f_0$ .
