Partición de un rectángulo en diferentes triángulos isósceles

Question

Después de todo el debate planteado por esta vieja pregunta Me pregunto por uno algo complementario:

Para cualquier rectángulo dado, ¿existe un conjunto finito de pares de diferentes triángulos isósceles que lo tejen?

Es fácil embaldosar, por ejemplo, un $1\times a$ rectángulo para $1<a<2$ por cuatro triángulos isósceles, pero con dos de ellos iguales. En el caso de que $a=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}2}$ tenemos suerte y podemos dividir uno de ellos en dos más pequeños, obteniendo un mosaico en 5 triángulos isósceles diferentes (con todos los ángulos que se producen siendo múltiplos de $\frac\pi{10}$ ). Por cierto, podemos iterar eso dividiendo el triángulo azul de nuevo, etc., obteniendo inclinaciones del mismo rectángulo en $k$ diferentes triángulos isósceles para todos $k\ge5$ .

Estoy bastante seguro de que la respuesta a la pregunta inicial es no, e incluso puede ser interesante limitarla a lo siguiente:

¿Para qué otros rectángulos se conoce la existencia de este tipo de mosaico?

Y posiblemente, ni siquiera hace la diferencia si permitimos un infinito conjunto de triángulos isósceles diferentes por pares.

Answer 1

Como Noam Elkies ha observado Cualquier problema agudo no isósceles El triángulo se puede dividir en tres triángulos isósceles no congruentes, conectando cada vértice con el circuncentro. Hay muchas maneras de dividir cualquier rectángulo en triángulos no isósceles no congruentes, cada uno de los cuales puede ser sustituido por tres triángulos isósceles, y creo que debería ser fácil encontrar una partición para la que esta construcción produce triángulos isósceles no congruentes.

Answer 2

Pensando en ello de nuevo: De forma aún más sencilla, para el caso general, se puede hacer con 7 triángulos isósceles no congruentes como en la imagen, utilizando 3 triángulos rectángulos $CDE, ABF, BEF$ .
Los segmentos del mismo color tienen la misma longitud.
$E$ es el punto medio de $BC$ y $BF$ es la altura en $ABE$ .