Demostración del teorema fundamental de la aritmética.

Question

Teorema fundamental de la aritmética. Demostración:- $P(n)$ : $n$ es un primo o puede escribirse de forma única como un producto de primos. $P(2)$ es verdadera, y asume que es verdadera para $n=3,4,...,k$ . Ahora bien, si $k+1$ no es un primo se puede escribir como $k+1= r\times s$ . Ahora $r<k+1$ y $s<k+1$ . Por tanto, ambos pueden escribirse de forma única como producto de primos (o primos en sí mismos). Así, $k+1$ puede escribirse de forma única como producto de primos. Así que $P(n)$ es verdadera para todos los números naturales.

¿En qué me he equivocado? ¿Puedo incluir "únicamente" en la afirmación? Porque en todos los libros se demuestra primero que todo número compuesto es producto de primos y luego se demuestra la unicidad.

Answer 1

Que $r,\,s$ tienen factorizaciones primas únicas demuestra $rs$ tiene una factorización primaria, pero todavía tienes que demostrar que es única.

La demostración habitual comienza con el lema de Bézout, que afirma que la hcf de dos enteros es una combinación lineal de ellos. Así, si $p|mn$ con $p$ primo y $p\nmid m$ entonces los enteros $x,\,y$ existen con $1=px+my$ y $n=pnx+mny$ , un múltiplo obvio de $p$ .

Desde $p$ divide $m$ o $n$ cuando se divide $n$ , si $pM=q_1\cdots q_N$ con $p,\,q_i$ primo entonces $p$ divide, y por lo tanto iguala, a algunos $q_i$ , digamos que $q_1$ así que $M=q_2\cdots q_N$ . Así que si $k+1$ fuera un natural con múltiples factorizaciones primarias, podríamos cancelar uno de sus factores primos para obtener un natural de este tipo más pequeño.