Ecuación 2.56 de Peskin y Schroeder

Question

En la QFT de Peskin y Schröder, ecuación 2.56, ¿podría alguien dar una lista de todos los argumentos necesarios para que todas las transiciones sean matemáticamente rigurosas?

Yo mismo intenté componer dicha lista y se me ocurrió:

1. $\frac{d}{dx}\theta(x)=\delta(x)$
2. $\theta(x)\delta(x)\equiv0$ ?
3. Si esto se mantiene $\int d^4x(\partial_\mu\partial^\mu\theta(x^0-y^0))<0|[\phi(x),\phi(y)]|0>=-\int d^4x(\partial^\mu\theta(x^0-y^0))(\partial_\mu<0|[\phi(x),\phi(y)]|0>)$ entonces esto es válido: $(\partial_\mu\partial^\mu\theta(x^0-y^0))<0|[\phi(x),\phi(y)]|0>=-(\partial^\mu\theta(x^0-y^0))(\partial_\mu<0|[\phi(x),\phi(y)]|0>)$ . Pero, ¿por qué? ¿Es por la $e^{-ip_\alpha(x^\alpha-y^\alpha)}$ término en $<0|[\phi(x),\phi(y)]|0>$ ?
4. ¿Por qué el operador KG aplicado a la función de Green es igual a $-i\delta(x-y)$ y no $\delta(x-y)$ ? ¿Es una cuestión de convención?

Answer 1

Probablemente no sea una respuesta completa. Sin embargo, su punto 1. es correcto pero 1'. $\partial^\mu\theta(x^0)=g^{\mu 0} \delta(x^0)$ es mejor para este propósito. Y entonces $\partial_\mu\partial^\mu\theta(x^0) = \partial_0\delta(x^0)=\delta'(x^0)$ .

Su punto 2. es incorrecto, la distribución en el h.l. no está definida, que yo sepa. Pero afortunadamente no es necesario.

En cuanto a la 3., se puede utilizar que $f(x)\delta'(x)=-f'(x)\delta(x)$ si $f(0)=0$ Lo cual es obviamente cierto. Ahora, en función de $x^0-y^0$ el operador $[\phi(x^0,\vec{x})\phi(y^0,\vec{y})]$ se desvanece en $x^0-y^0=0$ porque eso hace que $x-y$ espacial. (Excepto en el origen $x-y=0$ . Lo siento, no tengo tiempo para ocuparme de eso ahora. Pero el resultado es singular allí de todos modos...).

Eso te da (2,56).

En cuanto a su punto 4., puede redefinir su función Green por un factor multiplicativo para obtener el coeficiente que desea delante de su $\delta$ . Pero el módulo-cuadrado del coeficiente en el propagador a nivel de árbol es el coeficiente en el término cinético en la densidad lagrangiana, que se quiere normalizar correctamente. Así que sólo tienes la libertad de redefinir tu función de Green por un factor de fase. Y eso es una cuestión de convención.