Convirtiendo de suma de Riemann a integral definida

Question

Alguien puede por favor explicar cómo convertir esto en una integral definida en la forma
$ \int_a^b f(x)dx $
Y por favor explique cómo obtener a y b y el resto.

$$\lim_{a \rightarrow \infty } \bigg( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1+ \frac{k}{n}(a-1))^{2}} \bigg)$$
Una pregunta: Entiendo que esto:
$$\lim_{a \rightarrow \infty } \bigg( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1+ \frac{k}{n})^{2}} \bigg) = \frac{1}{x^2}$$ Qué sucede con el $$\frac{a-1}{n}$$ y $${(a-1)}$$ Cuando: $$\lim_{a \rightarrow \infty } \bigg( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1+ \frac{k}{n}(a-1))^{2}} \bigg) = \int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx $$

Answer 1

El punto es adivinar. En primer lugar, olvídate del límite $a\to \infty$. Cuando deseas aproximar $\int_a^b f(x)dx$ por sumas de áreas de rectángulos, divides los intervalos $[a, b]$ en $n$ partes iguales con ancho $\frac{b-a}{n}$. Entonces, uno podría suponer que la integral sería algo como

$$\int_{1+ c}^{a+c} f(x) dx$$

para algún $c$ desconocido. Ahora, para $f$, colocamos $k=0$ para ver que el término de la suma es

$$\frac{1}{(1)^2},$$

y colocamos $k=n-1$ para obtener

$$\frac{1}{(1+ \frac{n-1}{n}(a-1))^2}\sim \frac{1}{(1+ (a-1))^2} = \frac{1}{(a)^2} .$$

cuando $n$ es muy grande. Por lo tanto, una buena suposición sería

$$\int_1^a \frac{1}{x^2} dx\ .$$

Ahora tienes que considerar el límite $a\to \infty$ para ver que debería ser

$$\lim_{a \rightarrow \infty } \bigg( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1+ \frac{k}{n}(a-1))^{2}} \bigg) = \int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx = -\frac{1}{x}\bigg|_1^\infty = 1$$