No veo por qué la homotopía particular es continua

Question

Estoy comprobando las leyes de grupo para el grupo fundamental de $(X,x_{0})$ En particular, estoy tratando de mostrar que $\gamma \simeq \gamma \cdot e$ , donde $\gamma$ es un bucle basado en $x_{0}$ , $e$ es la trayectoria constante y $\cdot$ denota concatenación. La homotopía obvia para escribir es: $$\begin{array}{lclr} H(t,s)&=&\gamma((1+s)t)&t \in[0,\frac{1}{1+s}] \\ &&x_{0}&t \in [\frac{1}{1+s},1] \end{array}$$ Entonces $H(t,0)=\gamma(t)$ y $H(t,1)=\gamma \cdot e$ .

Me cuesta convencerme de que $H$ es continua. Está claro que $H(\cdot,s)$ es continua para cada $s$ pero no estoy seguro de cómo mostrarlo $H$ es continua.

Answer 1

Dejemos que $U \subset X$ sea un conjunto abierto. Entonces $\gamma^{-1}(U) = V$ está abierto desde $\gamma$ es continua.

Tenemos que $H^{-1}(U)$ es la unión de $\{ (t, s) \in I \times I: \gamma((1 + s) t) \in U \}$ y $\{(t, s) \in I \times I: t > \frac{1}{1 + s} \}$ si $x_0 \in U$ . Obsérvese que aquí podemos tomar la desigualdad estricta debido a la forma en que $H$ está remendado.

El primer conjunto es igual a $\{ (t, s) \in I \times I: (1 + s) t \in V \}$ que está abierto desde $(t, s) \mapsto (1 + s) t$ es continua y $V$ está abierto.

Del mismo modo, el segundo conjunto es abierto porque es la preimagen de $(-\infty, 0)$ con respecto a la función continua $(t, s) \mapsto \frac{1}{1 + s} - t$ , $(t, s) \in I \times I$ .

Así, $H^{-1}(U)$ es abierto y por lo tanto $H: I \times I \rightarrow X$ es continua.