5/8 ligado en teoría de grupos

Question

Las probabilidades de que dos elementos aleatorios de un grupo se desplacen al trabajo es el número de clases de conjugación del grupo.

PS

Si este número supera el 5/8, el grupo es abeliano (olvido qué grupos se dan cuenta de este límite).

¿Existe una prueba teórica del carácter de este hecho? ¿Qué es una generalización de este resultado ... tal vez sea un resultado de álgebras semisimple más que de grupos?

Answer 1

Si$c(G)> 5|G|/8$, entonces el carácter promedio tiene una dimensión al cuadrado de menos de$8/5$, por lo que al menos$4/5$ de los caracteres son dimensión$1$ (ya que la siguiente dimensión más pequeña -squared es$4$), por lo que la abelianización, que tiene un elemento para cada carácter unidimensional, es más de la mitad del tamaño del grupo, por lo que el subgrupo del conmutador tiene un tamaño menor que$2$ y así es trivial.

Answer 2

Un resultado elemental usando la teoría del carácter, pero yendo en la otra dirección, que se demuestra en el artículo de R. Guralnick y yo mismo mencionado en mi comentario anterior es que si $\{\chi_1, \chi_2, \ldots, \chi_c \}$ son los caracteres irreducibles complejos de$G$, donde$c = c(G)$ es el número de clases de conjugación de$G,$ y luego, por Cauchy-Schwarz, tenemos$\sum_{i=1}^{c} \chi_i(1) \leq \sqrt{c}\sqrt{|G|}$, de modo que $\frac{c(G)}{|G|} \geq \left( \frac{\sum_{i=1}^{c} \chi_i(1)}{|G|} \right)^{2}.$.