Un polinomio irreducible

Question

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado y $f\in k[x_0,x_1,y_0,y_1,y_2]$ sea dada por $$f(x_0,x_1,y_0,y_1,y_2)=y_0x_0^2+y_1x_0x_1+y_2x_1^2.$$ ¿Por qué es $f$ ¿Irreducible?

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x_0,x_1,y_0,y_1,y_2)$ es homogénea de grado $2$ con respecto al conjunto de indeterminados $\{x_0,x_1\}$ y lineal homogéneo con respecto a $\{y_0,y_1,y_2\}$ .

Así que basta con demostrar que el polinomio deshomogeneizado es irreducible: $$F(X, Y_1,Y_2)=1+Y_1X+Y_2X^2 \qquad(X=\frac{x_1}{x_0},\;Y_1=\frac{y_1}{y_0},\;Y_2=\frac{y_2}{y_0}) $$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?