las clases de equivalencia de ∼ son cosetas izquierdas de H en G - mi intento

Question

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de G, y defina una relación $$ on G by the rules that $ xy $ mean $ x^{-1}y\Nen H $. Show that $$ es una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia son los conjuntos de la izquierda de $H$ .

Mi intento

Sabemos que una relación $R$ en un conjunto $X$ es un conjunto de pares ordenados de miembros de $X$ que satisface la condición de la relación dada.

Para demostrar que la relación es una relación de equivalencia, tenemos que comprobar si la relación $$ tiene todas las propiedades

• $$ is reflexive if $ xx $ for all $ en G$
• $$ is symmetric if $ xy \N Flecha derecha yx $ for all $ x,y\Nen G$
• $$ is transitive if $ xy $ & $ yz $ then $ xz $ for all $ x,y,z en G$

Así, podemos ver que la relación es reflexiva ya que $$x^{-1}x=1 \forall x\in H$$ También es simétrico $$x^{-1}y {,} \forall x,y\in H$$ y como el elemento identidad existe sabemos que un elemento $j$ existe tal que $$x^{-1}yj=1 <=> j=y^{-1}x \in H$$ Por lo tanto, es simétrico. La relación también es transitiva: $$xy .AND. yz. THEN.xz \forall x,y,z \in H$$ $$(x^{-1}y)(y^{-1}z)=x^{-1}z \in H$$ Dado que la relación tiene todas las propiedades enumeradas anteriormente, la relación es una relación de equialance. Ahora vamos a demostrar que las clases de equivalencia de esta relación son los conjuntos de la izquierda. Dado que los cosenos izquierdos distintos forman una partición de $G$ es igual a las clases de equivalencia porque las clases de equivalencia son las partes de la partición de $G$ , lo que significa que las clases de equivalencia también forman la partición.

Las clases de equivalencia son el conjunto

$$[x]=\{y \in G | yx\}$$ y por la reflexiva obtenemos $$[x]=\{y \in G | xy\}=\{y\in G|x^{-1}y\in H\}$$ $x^{-1}y\in H$ nos da que $$y=x(x^{-1}y)=y\in xH$$ Esto significa que $$y=xh$$ para algunos $h \in H$ y esto nos da $$h=x^{-1}y$$ que es la relación $xy$ . Por lo tanto, $$[x]=xH$$

Answer 1

Empiezas mal. Las propiedades que tienes que probar son

• $\sim$ es reflexivo, es decir, $x\sim x$ para todos $x\in G$ ,

• $\sim$ es simétrica, es decir, para todo $x,y\in G$ , $x\sim y$ implica $y\sim x$ ,

• $\sim$ es transitiva, es decir, para todo $x,y,z\in G$ , $x\sim y$ y $y\sim z$ implica $x\sim z$ .

Obsérvese que la relación es en $G$ , no en $H$ .

Con esta corrección, tu prueba es buena, aparte de la simetría.

Supongamos que $x\sim y$ Entonces $x^{-1}y\in H$ y por lo tanto $(x^{-1}y)^{-1}\in H$ . Desde $(x^{-1}y)^{-1}=y^{-1}(x^{-1})^{-1}=y^{-1}x\in H$ concluimos que $y\sim x$ .

La prueba de que $[x]=xH$ es buena, pero no está claramente escrita.

Tenemos $[x]=\{y\in G:x\sim y\}$ por definición.

• Supongamos que $y\in[x]$ . Entonces $x^{-1}y\in H$ Así que $y=x(x^{-1}y)\in xH$ . Por lo tanto, $[x]\subseteq xH$ .

• Supongamos que $y\in xH$ . Entonces $y=xh$ para algunos $h\in H$ Así que $x^{-1}y=h\in H$ . Por lo tanto, $xH\subseteq[x]$ .

Answer 2

Tienes la idea correcta para la primera parte de la prueba, pero ciertas cosas podrían demostrarse de forma más clara/sucinta. El principal problema que tengo, sin embargo, viene con su intento de demostrar que $[x] = xH$ para todos $x \in G$ . Lo que actualmente tiene anotado muestra (por partida doble) que $[x] \subseteq xH$ para todos $xH$ . ¿Cómo sabes que $xH \subseteq [x]$ ? (Podría ayudarte demostrar (de forma equivalente) que para todo $x,y \in G$ tienes $x \sim y \iff y \in xH$ .)

Edit: Cuando dije que se podía demostrar algo más claramente, me refería a la prueba de que $\sim$ es simétrica (junto con lo que supongo que son problemas de composición tipográfica en $\LaTeX$ en otros lugares). Como no estoy seguro de si eso se debe a que te apresuraste a escribir tu solución aquí o a que eres nuevo en la escritura de pruebas, he proporcionado un ejemplo a continuación de cómo podrías escribir claramente el argumento:

Supongamos que $x \sim y$ . Entonces $x^{-1}y \in H$ por la definición de $\sim$ . Por lo tanto, ya que $H$ es un grupo, también sabemos que $(x^{-1}y)^{-1} \in H$ . Pero $$ (x^{-1}y)^{-1} = y^{-1}x \in H, $$ y por lo tanto $y \sim x$ .

[Debe mostrar que $(x^{-1}y)^{-1} = y^{-1}x$ directamente (al igual que hiciste en tu solución original) si no estás lo suficientemente avanzado en el tema como para darlo por hecho].