Acabo de empezar a leer el libro de Jim Hefferon sobre álgebra lineal y tengo problemas con una de las pruebas. Entiendo su estructura general, pero algunos de la indexación en la prueba parece fuera de 1. A continuación es su prueba con mis correcciones propuestas en negrita entre paréntesis. Esto parece tan simple, sólo no estoy seguro de lo que estoy perdiendo aquí.
Lemma: Para cualquier sistema lineal homogéneo existen vectores $\beta_1, . . . , \beta_k$ tal que el conjunto de soluciones del sistema es $\{ c_1 \beta_1 + ... + c_k \beta _k | c_1,...,c_k \in \mathbb{R} \}$ donde k es el número de variables libres en una versión de forma escalonada de del sistema.
Prueba: Aplicar el método de Gauss para llegar a la forma escalonada. Puede haber haber algunas ecuaciones 0 = 0; las ignoramos (si el sistema consiste sólo en de ecuaciones 0 = 0 entonces el lema es trivial porque no hay no hay variables principales). Pero como el sistema es homogéneo no hay no hay ecuaciones contradictorias.
Utilizaremos la inducción para verificar que cada variable principal puede ser expresada en términos de variables libres. Con esto terminamos la prueba porque podemos utilizar las variables libres como parámetros y la $\beta$ son los vectores de coeficientes de esas variables libres.
Para el paso base considere la ecuación más baja $a_{m,l_m} x_{l_m} + a_{m,l_{m+1}} x_{l_{m+1}} + ... + a_{m,n} x_n = 0 $ donde $a_{m,l_m} \neq 0$ . Esta es la fila inferior, por lo que cualquier variable después de la primera debe estar libre. Muévelas a la derecha y dividir por $a_{m,l_m}$
$x_{l_m} = (-a_{m,l_{m+1}}/a_{m,l_m}) x_{l_{m+1}} + ... + (-a_{m,n}/a_{m,l_m})x_n$
para expresar la variable principal en términos de variables libres.
Para el paso inductivo supongamos que la afirmación se cumple para el filas inferiores t, con $0 \leq t < m- 1$ [0 < t $\leq$ m- 1] . Es decir, se supone que para la m-ésima ecuación, y la (m- 1)-ésima ecuación, etc., hasta e incluyendo la (m- t)-ésima [(m-t+1)-th] podemos expresar la variable principal en términos de de las libres. Debemos comprobar que esto también es válido para la siguiente ecuación superior, la (m - (t + 1))-ésima [(m-t)-th] ecuación. Para ello, toma cada variable que lleva en una ecuación inferior $x_{l_m}, . . . , x_{l_{m-t}}$ [ $...x_{l_{m-t+1}}$ ] y sustituir su expresión en términos de variables libres. Sólo necesitamos expresiones para de las variables principales de las ecuaciones inferiores porque el sistema está en forma escalonada, por lo que las variables principales de las ecuaciones superiores a ésta no aparecen en esta ecuación. El resultado tiene un término principal de $a_{m-(t+1),l_{m-(t+1)}} x_{m-(t+1)}$ con $a_{m-(t+1),l_{m-(t+1)}} \neq 0$ y el resto del lado izquierdo es una combinación lineal de variables libres. Mueve las variables libres al lado derecho y divide por $a_{m-(t+1),l_{m-(t+1)}}$ a terminar con la variable principal de esta ecuación $x_{l_{m-(t+1)}}$ en términos de variables libres variables.
Hemos realizado tanto el paso base como el paso inductivo por lo que por el principio de inducción matemática la proposición es verdadera. QED
Edición: Por ejemplo, si m = 10 y t = 2, significa que hemos parametrizado las 2 filas inferiores de una matriz de 10 filas en términos de las variables libres. Su prueba parece decir que la 8ª a la 10ª filas (m-t) se han completado, mientras que mi pensamiento es que sólo la 9ª y 10ª (m-t+1) se han completado y ahora vamos a utilizar la inducción en la 8ª.
