¿Hay alguna manera de obtener la forma cerrada de $x$ considerando $x^2 + 3x = \sqrt{x + 2}$ ¿ no usar la calculadora/ordenador?

Question

¿Cómo se puede encontrar la respuesta exacta a $$x^2 + 3x = \sqrt{x + 2}$$ Resolver para $x$ ?

Utilizando papel y lápiz para trazar un gráfico, he descubierto que la solución se encuentra en $\approx 0.453$ Pero estoy interesado en encontrar una solución de forma cerrada, pero no tengo idea de cómo llegar a ella.

Además, tratar de resolver para $x$ utilizando una calculadora o un ordenador me da lo que considero una solución algo desordenada.

¿Hay alguna manera de obtener una forma cerrada "bonita" de $x$ ¿a mano?

Answer 1

Depende mucho de lo sencilla y precisa que pueda ser la forma cerrada.

Por ejemplo, saber que la solución está cerca de $0.5$ podríamos utilizar una expansión de Taylor construida alrededor de este valor. Esto daría $$x^2 + 3x - \sqrt{x + 2}=\left(\frac{7}{4}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)+\left(4-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)+O\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\right)$$ La solución es entonces $$x=\frac{58+73 \sqrt{10}}{636} \approx 0.454161$$ que no está tan mal comparado con el valor exacto $0.453557$

Answer 2

Las otras respuestas son suficientes pero si quieres ser exacto;

$a=1,b=6,c=9, d=-1, e=-2$

Aplíquelos a esta fórmula aquí