¿Cuándo el límite tiene medida cero?

Question

El límite de un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ no tiene (Lebesgue) medida cero, pensar, por ejemplo, a $\mathbb{Q}^n\subset\mathbb{R}^n$, que satisface $\partial\mathbb{Q}^n=\mathbb{R}^n$.

Mi pregunta es: ¿hay otras "agradable" condiciones para un subconjunto $U\subseteq\mathbb{R}^n$ tener límite de $\partial U$ de medida cero?

Por ejemplo podríamos tener $U\subset\mathbb{R}^n$ abra el interior de la incrustación de un manifold con frontera, a continuación, $\partial U$ es el colector de límite, el cual es en sí mismo una variedad de dimensión $n-1$. Luego Adrs del teorema implica que $\partial U$ tiene medida cero.

Es la declaración más fuerte: "$U\subset\mathbb{R}^n$ abierto $\Rightarrow$ $\partial U$ tiene medida cero" cierto?

Answer 1

Es la declaración más fuerte: "$U\subset \mathbb{R}^n$ abrir $\Rightarrow \partial U$ tiene medida cero" cierto?

No. En 1902 Wiliam F. la enfermedad de Osgood presentó su construcción de "Un Jordania curva positiva de la Zona".

Que proporciona un conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^2$ tal que $\partial U$ - el Jordán curva positiva de área - ha positiva de la medida de Lebesgue. Restricción de mejores ideas, usted puede utilizar un producto de un conjunto abierto con una (hiper)cuboide a tener mayores dimensiones ejemplos.

El complemento de una grasa conjunto de Cantor proporciona un uno-dimensional ejemplo.