Si $[M]\in H_n(M,\mathbb{Z})$ es una clase fundamental para el colector $M$ es $i(M)\in H_n(M,\mathbb{C})$ una clase fundamental wrt $\mathbb{C}$ ?

Question

Me pregunto si $[M]\in H_n(M,\mathbb{Z})$ es una clase fundamental para el colector $M$ es $i(M)\in H_n(M,\mathbb{C})$ una clase fundamental wrt $\mathbb{C}$ ?

Es decir, ¿la imagen de $[M]$ en $H_n(M,\mathbb{C})$ generar la homología compleja?

Answer 1

Sí. Cualquiera que sea su definición preferida de homología, el grupo $C_i(M,\mathbf Z)$ de lo que sea $i$ -cadenas con coeficientes enteros genera el espacio vectorial complejo $C_i(M,\mathbf C)$ de lo que sea $i$ -con coeficientes complejos, para $i=n-1$ y $n$ . De hecho, en todos los casos que conozco, un $\mathbf Z$ -base de la primera es un $\mathbf C$ -base de este último. Además, el mapa de límites $$ \partial_{\mathbf Z}^n\colon C_n(M,\mathbf Z)\rightarrow C_{n-1}(M,\mathbf Z) $$ es la restricción del mapa de frontera $$ \partial_{\mathbf C}^n\colon C_n(M,\mathbf C)\rightarrow C_{n-1}(M,\mathbf C). $$ De ello se desprende que un $\mathbf Z$ -base del núcleo de $\partial_{\mathbf Z}^n$ es un $\mathbf C$ -base del espacio vectorial complejo $\mathrm{ker}(\partial_{\mathbf C}^n)$ . Dado que la clase fundamental $[M]$ de $M$ es un $\mathbf Z$ -base de la primera, $[M]$ es un $\mathbf C$ -base de este último. Esto significa que $[M]\in H_n(M,\mathbf C)$ es una clase fundamental con $\mathbf C$ coeficientes.