Aclaración sobre el párrafo de Pugh's Real Mathematical Analysis acerca de que no todas las normas provienen de productos internos

Question

Pugh afirma lo siguiente en el capítulo 1 de su libro, Análisis Matemático Real

Desgraciadamente, me cuesta entender cómo utiliza esta esfera de la unidad que saca a relucir. Supongo que la norma fue algo que se le ocurrió que satisfacía las propiedades necesarias de una norma, pero no entiendo cómo entra en juego la esfera unitaria. ¿Cómo se conoce el perímetro? Y, ¿cómo se conoce el conjunto definido como $\{v\in V:\langle v,v \rangle =1\}$ parece la esfera unitaria cuando el producto interior no está definido explícitamente, ¿se conoce esto de alguna manera a partir de las propiedades de los productos interiores (bilinealidad, simetría y definición positiva) solamente?

Además, ¿cuál es la relación entre las esquinas/suavidad y si surge o no de un producto interior?

Answer 1

Lo que se puede demostrar es que la bola unitaria de cualquier espacio de producto interno de dimensión finita es un elipsoide. Es decir, existe una transformación lineal e invertible $R$ tal que la imagen de la bola unitaria es una esfera.

Para ver esto, observe que cualquier producto interno sobre $\mathbb R^n$ es de la forma $\langle x,y\rangle = x^T A y$ para alguna matriz definida positiva $A$ . Así que aplica la factorización Cholesky $A = R^T R$ para ver que $\langle x,y\rangle = (Rx)^T (Ry)$ . Entonces la imagen bajo $R$ de la bola unitaria inducida por $\langle \cdot,\cdot\rangle$ es una esfera.

Otra forma de entender que no todas las normas provienen de un producto interior es que cualquier norma que provenga de un producto interior satisface la identidad de polarización, es decir $$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \tfrac12(\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2) ,$$ y se puede demostrar que se trata de una condición "si y sólo si". Así que sólo hay que demostrar que la norma máxima, o la norma taxi-cab no cumple esta condición.