Determinación de la exacta de entre todas las posibles formas canónicas de Jordan de una matriz

Question

Este es el ejemplo que encontré :

Una matriz $\ M\ $ $(5\times 5)$ y su polinomio mínimo se determina que $(x-2)^3.$ Así que considerando los dos posibles conjuntos de divisores elementales $$\{ (x-2)^3,(x-2)^2\}\ \ and\ \ \{(x-2)^3,(x-2),(x-2)\}$$ obtenemos dos posibles formas canónicas de Jordan de la matriz , a saber $J_1$ y $J_2$ respectivamente. Así que $J_1$ tiene $2$ y $J_2$ tiene $3$ Jordan Blocks.

Ahora debemos determinar la exacta a partir de estas dos. A partir de la matriz original $M,$ determinamos los vectores Eigen y $2$ vectores propios fueron linealmente independientes. Así que el resultado es que $J_1$ Por lo tanto, para determinar la exacta de entre todas las posibilidades, necesitamos dos informaciones -

$1)$ el polinomio mínimo, junto con $2)$ el número de vectores propios linealmente independientes .

Se trata de un libro de preguntas y respuestas, por lo que no se dan muchas explicaciones teóricas. A partir del resultado dado , asumo que el número de vectores propios linealmente independientes -que es $2$ en este caso - decidió $J_1$ ser el exacto porque tiene $2$ Jordan Blocks. Así que la ecuación

" Número de vectores propios linealmente independientes $=$ Número de bloques de Jordania"

debe ser verdadera para que esta selección sea correcta .

Ahora bien, esta ecuación no está probada en este libro o el libro de texto que he leído no dice nada de esto .

Así que esta es mi pregunta : Cómo demostrar la ecuación " Número de vectores propios linealmente independientes $=$ Número de bloques de Jordania" $?$

Answer 1

Dejemos que $A$ sea una matriz reducida en forma de Jordan. Obsérvese que para cada bloque de Jordan relativo al valor propio $\alpha$ existe un vector propio con respecto a $\alpha$ y estos vectores son independientes. Para ver esto basta con mirar la primera columna de un bloque genérico. Así, $\#$ Bloques de Jordania $\le\#$ vectores propios independientes. Para demostrar la otra desigualdad, consideremos la matriz $A-\alpha I$ para cada valor propio $\alpha$ y calcular su rango.