Si $\{f_j\}$ es una secuencia de funciones medibles, entonces $\sup_j f_j(x)$ es medible.

Question

En math.SE se hacen preguntas similares pero lo que me interesa especialmente no se pregunta (por lo que veo).

Si $\{f_j\}$ es una secuencia de $\overline{\mathbb{R}}$ -funciones medibles valoradas en $(X,\mathcal{M})$ entonces $g_1(x) = \sup_j f_j(x)$ (y de hecho $g_2(x) = \inf_j f_j(x)$ ) es medible.

Esta es una proposición de Folland, Análisis Real y su demostración es la siguiente.

Tenemos $$g_1^{-1}((a,\infty]) = \bigcup_1^{\infty}f_j^{-1}((a,\infty])$$ y $$g_2^{-1}([-\infty,a))=\bigcup_1^{\infty}f_j^{-1}([-\infty,a))$$

así que $g_1$ y $g_2$ son medibles.

Lo que no entiendo es, ¿cómo podemos convertir la inversa de los supremos e infimos a las uniones de los conjuntos como se hace en lo anterior?

Gracias de antemano.

Answer 1

La igualdad de los conjuntos $$g_1^{-1}((a,\infty]) = \bigcup_1^{\infty}f_j^{-1}((a,\infty])\tag1$$ significa $$x \in g_1^{-1}((a,\infty]) \iff x\in \bigcup_1^{\infty}f_j^{-1}((a,\infty])\tag2$$ que es lo mismo que $$g_1(x)>a \iff \exists j \ f_j(x)>a\tag3$$ La demostración de (3) es un ejercicio de uso de la definición de supremacía.

Del mismo modo, la igualdad de los conjuntos $$g_2^{-1}([-\infty,a))=\bigcup_1^{\infty}f_j^{-1}([-\infty,a))\tag4$$ se convierte en $$g_2(x)<a \iff \exists j \ f_j(x)<a\tag5$$