Compruebe mi prueba, por favor (análisis complejo)

Question

Pregunta: Dejemos que $f$ sea una función analítica en un conjunto abierto $U$ . Sea $V = \{z \in \mathbb{C} : \overline{z} \in U\}$ . Definir $g$ en $V$ por $g(z) = \overline{f(\overline{z})}$ . Demostrar que $g$ es analítico en $V$ sin utilizar el hecho de que $g$ es holomorfo.

Intento de prueba: Elija $z_0 \in V$ . Entonces $\overline{z_0} \in U$ . Desde $f$ es analítico en $U$ Hay un $r > 0$ y una secuencia de números complejos $\{a_n\}_{n = 0}^{\infty}$ tal que para $\overline{z} \in D(\overline{z_0}, r)$ tenemos $$f(\overline{z}) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n(\overline{z} - \overline{z_0})^n$$ De ello se desprende que $$g(z) = \overline{f(\overline{z})} = \sum_{n = 0}^{\infty} \overline{a_n}(z - z_0)^n$$ para todos $z \in D(z_0, r)$ . Así, $g$ es analítico en $V$ .

Answer 1

Ya que la conjugación es un homeomorfismo, $V$ está abierto.

Dejemos que $c\in V$ Entonces $\bar{c}\in U$ , por lo que hay un $r>0$ tal que $D(\bar{c},r)\subseteq U$ y $f$ puede escribirse como $$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-\bar{c})^n \tag{1} $$ por cada $z\in D(\bar{c},r)$ . Por lo tanto, $$ f(\bar{z})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\bar{z}-\bar{c})^n $$ por cada $z\in\overline{D(\bar{c},r)}=D(c,r)$ .

La convergencia es absoluta en $D(\bar{c},s)$ para cada $0<s<r$ por lo que no es restrictivo asumir la serie $(1)$ es absolutamente convergente en $D(\bar{c},r)$ (utilizando $r/2$ en lugar de $r$ ).

Entonces la serie $$ \sum_{n=0}^{\infty}\overline{a_n}(z-c)^n $$ es absolutamente convergente en $\overline{D(\bar{c},r)}=D(c,r)$ por lo que define una función analítica sobre este disco. Como $$ \sum_{n=0}^{\infty}\overline{a_n}(z-c)^n= \overline{\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\bar{z}-\bar{c})^n}= \overline{f(\bar{z})} $$ hemos terminado.

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Tu idea es buena, pero habría que mencionar la convergencia de la serie final.