Demostrar la continuidad de la función del espacio normado a $\mathbb{R}$

Question

Tenemos $(X,||.||)$ como espacio normado. Demostrar que $f: X$ -> $\mathbb{R}$ , $x$ -> $||x||^2$ es continuo.

Mi intento:
Dejemos que $\epsilon > 0$ y elija $\delta = \frac{\epsilon}{2}$ .
Tenemos la métrica inducida $d(x,y) = \|x-y\|$ .
Dejemos que $x \in X$ con $d(x,x_0) = ||x-x_0|| < \delta$ entonces
$d(f(x), f(x_0)) = ||f(x)-f(x_0)|| = || ||x||^2-||x_0||^2|||$
Este es el punto en el que me he atascado. ¿Puede alguien decir una pista?

Answer 1

Pista: Por la desigualdad del triángulo inverso, la función $f(x)=||x||$ es continua. Además, la función $g(t)=t^2$ es continua.