¿Cómo han conseguido este resultado?

Question

Por favor, explique estos cálculos:

1) $-\left(\frac{1}{2}\right)^2 +1 = \cos^2x$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x$

¿Cómo conseguimos $\frac{\sqrt{3}}{2}$ de $-\left(\frac{1}{2}\right)^2 +1$ ?

2) $-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 +1 = \cos^2x$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos x$

¿Cómo conseguimos $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ de $-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 +1 $ ?

Answer 1

Esta es otra forma:

$$ \cos^2(x) = 1 - (\frac{1}{2})^2 $$ y

$$ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) $$ por lo que inmediatamente tenemos

$$ \sin(x) = \pm\frac{1}{2} $$ entonces, ya que $\sin(x) = \frac{opp}{hyp}$ que tenemos del triángulo de referencia, $$ \cos(x) = \frac{adj}{hyp} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $$ y también $$ \tan(x) = \frac{opp}{adj} =\pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Answer 2

Lo has hecho:

1. $$\cos^2 x = -(\frac{1}{2})^2 + 1$$

   $$\cos^2 x = -\frac{1}{4} + 1=\frac{3}{4}$$

   Que es:

   $$\sqrt \cos^2 x = \sqrt \frac{3}{4}$$

   $$\cos x = \pm \frac{\sqrt 3}{2}$$

Lo mismo ocurre con el segundo.

Answer 3

$$\sqrt{-\left(\frac12\right)^2 +1} = \sqrt{-\frac14 +1} = \sqrt{\frac34} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sqrt{-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 +1} = \sqrt{-\frac24 +1} = \sqrt{\frac24} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

aunque también hay que tener en cuenta las raíces cuadradas negativas.