Fórmula de carácter del módulo de Verma sobre un álgebra de Kac-Moody

Question

La fórmula de caracteres de un módulo de Verma sobre un álgebra de Kac-Moody viene dada por

$$\textrm{ch}\ M(\Lambda)=\frac{e(\Lambda)}{\prod_{\alpha\in\Phi+}(1-e(-\alpha))^{\textrm{mult}(\alpha)}}$$

Aquí $\Phi_+$ son el sistema de raíces positivas y $e(\lambda)$ es el exponencial formal.

Al demostrar esto, primero consideramos una base $\{e_{-\alpha,i}\}_{1\leq i\leq \textrm{mult}(\alpha)}$ de $(\mathfrak{n}^-)_{-\alpha}$ . El uso del teorema de PBW da una base para $U(\mathfrak{n}^-)$ que consiste en productos $$\prod_{\alpha\in\Phi_+}\prod_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}e_{-\alpha,i}^{k_{\alpha,i}}$$

Para $h\in U(\mathfrak{g})$ entonces

$$h\prod_{\alpha\in\Phi_+}\prod_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}e_{-\alpha,i}^{k_{\alpha,i}}=\left(\sum_{\alpha\in\Phi_+}\left(\sum_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}k_{\alpha,i}\right)\alpha\right)(h)\prod_{\alpha\in\Phi_+}\prod_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}e_{-\alpha,i}^{k_{\alpha,i}}$$

Por lo tanto, el espacio de peso $U(\mathfrak{n}^-)_{-\lambda}$ tiene una base formada por elementos que satisfacen $$\sum_{\alpha\in\Phi_+}\left(\sum_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}k_{\alpha,i}\right)\alpha=\lambda$$

Entonces

$$\textrm{ch}\ U(\mathfrak{n}_-)=\sum_{\alpha\in\Phi_+}\dim( (U(\mathfrak{n}^-))_{-\alpha}) e(-\alpha)=\prod_{\alpha\in\Phi_+}(1+e(-\alpha)+(e(-\alpha))^2+\cdots)^{\textrm{mult}(\alpha)}$$ Kac afirma que esto se mantiene ya que el número de veces $e^{-\lambda}$ aparece en el lado derecho es el número de conjuntos de enteros positivos $k_{\alpha,i}$ st. $\sum_{\alpha\in\Phi_+}\left(\sum_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}{k_{\alpha,i}}\right)\alpha=\lambda$ .

Esto me lleva a mis preguntas:

1. ¿Por qué es $\left(\sum_{\alpha\in\Phi_+}\left(\sum_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}k_{\alpha,i}\right)\alpha\right)$ el peso correspondiente del vector de pesos $\prod_{\alpha\in\Phi_+}\prod_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}e_{-\alpha,i}^{k_{\alpha,i}}$ ?
2. No estoy seguro de entender el argumento de Kac de que $$\sum_{\alpha\in\Phi_+}\dim( (U(\mathfrak{n}^-))_{-\alpha}) e(-\alpha)=\prod_{\alpha\in\Phi_+}(1+e(-\alpha)+(e(-\alpha))^2+\cdots)^{\textrm{mult}(\alpha)}$$ ¿Por qué es así?

Answer 1

$$h\prod_{\alpha\in\Phi_+}\prod_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}e_{-\alpha,i}^{k_{\alpha,i}}=\left(\sum_{\alpha\in\Phi_+}\left(\sum_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}k_{\alpha,i}\right)\alpha\right)(h)\prod_{\alpha\in\Phi_+}\prod_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}e_{-\alpha,i}^{k_{\alpha,i}}$$

El peso real debe tener $-$ delante porque $[h,e_{-\alpha,i}]=-\alpha(h)e_{-\alpha,i}$ . Con esto, será entonces cierto que $U(\mathfrak{n}^-)_{\color{red}{-}\lambda}$ tiene una base formada por elementos que satisfacen $$\tag{1} \sum_{\alpha\in\Phi_+}\left(\sum_{i=1}^{\textrm{mult}(\alpha)}k_{\alpha,i}\right)\alpha=\lambda.$$

2. No estoy seguro de entender el argumento de Kac de que $$\sum_{\alpha\in\Phi_+}\dim( (U(\mathfrak{n}^-))_{-\alpha}) e(-\alpha)=\prod_{\alpha\in\Phi_+}(1+e(-\alpha)+(e(-\alpha))^2+\cdots)^{\textrm{mult}(\alpha)}$$

Por el argumento anterior, sabemos que $\dim( (U(\mathfrak{n}^-))_{-\lambda})$ es el número de $(k_{\alpha,i})_{\lambda\in \Phi_+, 0\le i\le \text{mult}(\lambda)}$ tal que (1) se cumpla. Cada uno de estos $(k_{\alpha,i})$ corresponde a una forma de escribir $e(-\lambda)=\prod_{\alpha\in \Phi_+}e(-\alpha)^{k_{\alpha,i}}$ que es un término del producto $\prod_{\alpha\in\Phi_+}(1+e(-\alpha)+(e(-\alpha))^2+\cdots)^{\textrm{mult}(\alpha)}$ de ahí la igualdad.