¿Por qué el número de la torre no puede ser $\aleph_0$ ?

Question

Un conjunto $A$ se dice que casi contenida en un conjunto $B$ si $A\setminus B$ es finito. Una secuencia $(A_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ de subconjuntos infinitos de $\mathbb N$ se llamará torre si para cada $\alpha<\beta<\lambda$ , $A_\beta$ está casi contenida en $A_\alpha$ . Se dice que una torre tienen una continuación si existe algún subconjunto infinito de $\mathbb N$ que está casi contenido en cada elemento de la torre. El número de torre se define como la cardinalidad mínima del conjunto de torres que no tienen continuación.

Mi pregunta es: ¿por qué el número de la torre no puede ser $\aleph_0$ ? O, lo que es lo mismo, ¿por qué toda torre de longitud contable tiene necesariamente una continuación?

Answer 1

Este es un simple argumento de diagonalización. Supongamos que tenemos una torre contable. Tomando una subsecuencia cofinal, podemos suponer que tiene longitud $\omega$ y escribirlo como $(A_n)_{n<\omega}$ . Además, podemos suponer que el $A_n$ están realmente contenidas literalmente en la otra en lugar de casi contenidas en la otra, sustituyendo $A_n$ con $A_0\cap\dots\cap A_n$ .

Ahora es fácil construir un conjunto $B$ que está casi contenida en cada $A_n$ Elección de un elemento de cada uno: sólo hay que elegir un elemento de cada $A_n$ para estar en $B$ . Escogiendo estos elementos uno por uno, podemos disponer que todos sean distintos (ya que cada $A_n$ es infinito), por lo que el conjunto resultante $B$ es infinito. Para cada $n$ , todos menos posiblemente el primero $n$ elementos que ponemos en $B$ debe estar en $A_n$ (ya que están en $A_m$ para algunos $m\geq n$ ), por lo que $B$ está casi contenida en $A_n$ .