Esto me lleva a Jerusalén a finales de los 90. De hecho, me han preguntado sobre esto un par de veces este año, después de 15 años sin escuchar nada al respecto.
La prueba consistió en observar la familia independiente máxima construida por Shelah en el curso de su demostración de Con( $\mathfrak{i}<\mathfrak{u}$ ). El m.i.f. que construye allí (asumiendo CH) está diseñado para sobrevivir al forzamiento que utiliza para empujar hacia arriba $\mathfrak{u}$ .
El forzamiento de Sacks es mucho más suave que el que utiliza Shelah para obtener $\frak{i}<\frak{u}$ y recuerdo que la prueba de que la f.i.m. especial sobrevive al forzamiento iterado de Sacks era "sólo" la prueba de Shelah utilizada para obtener $\mathfrak{i}<\mathfrak{u}$ con los detalles es mucho más fácil. También recuerdo que la prueba de Shelah era ciertamente una prueba de Shelah...
Piensa en lo que se necesita: mantener el m.i.f. vivo durante la iteración equivale a preservar la no divisibilidad de una colección de conjuntos naturalmente relacionados (ver la prueba de que $\mathfrak{r}\leq\mathfrak{i}$ ), y esto está cerca de preservar los ultrafiltros. La familia independiente máxima de Shelah se construye de manera que la familia insumergible relevante comparte muchas propiedades con los ultrafiltros de Ramsey, y esa es la clave para asegurarse de que se preserva su insumergibilidad.
Lamento no poder ser más específico, ya que fue hace mucho tiempo, y no parecía ser realmente de interés en ese momento, dado que todas las ideas ya estaban en el documento de Shelah. (No he tenido éxito en encontrar notas antiguas, pero reconstruir esto está en mi plato para el verano).
Actualización 2-17-17: Mi estudiante de posgrado Michael Perron señaló que hay una manera bastante fácil de ver que $\mathfrak{i}$ es $\aleph_1$ en el modelo de Sacks.
Si $I$ es una familia independiente, y que $env(I)$ (el sobre de $I$ ) denotan la colección de todas las intersecciones finitas de elementos de $I$ y complementos de elementos de $I$ (desechando todo lo que salga vacío, por supuesto).
$I$ es selectivo si para cada $f:\omega\rightarrow\omega$ hay un $A\in env(I)$ tal que $f\upharpoonright A$ es constante o uno a uno.
Una familia independiente selectiva si es máxima (dada $B\subseteq\omega$ , dejemos que $f$ sea la función característica de $B$ y mira lo que pasa).
$I$ es en todas partes selectivo si para cualquier $f:\omega\rightarrow\omega$ y $A\in env(I)$ hay un $B\subseteq A$ en $env(I)$ tal que $f\upharpoonright B$ es constante o uno a uno.
$I$ es selectivo en todas partes si y sólo si el ideal formado por esos conjuntos $X\subseteq \omega$ tal que para cualquier $A\in env(I)$ hay un $B\subseteq A$ en $env(I)$ con $B\cap X=\emptyset$ es un ideal selectivo en el sentido considerado en el artículo original de Baumgartner-Laver que considera el forzamiento iterado de Sacks. Demuestran que los ideales selectivos siguen siendo selectivos en el modelo de Sacks (forzamiento iterado de Sacks $\omega_2$ veces).
Ahora CH puede utilizarse para construir una familia independiente selectiva en todas partes $I$ y así podemos obtener el resultado.
