Demostrar la existencia de $\lim_{t \to \infty } \int_0^{\pi} \frac{\sin{tx}}{x} d x$

Question

¿Cuál es una manera fácil de mostrar que dado $t \in \mathbb{R}$ $$\lim_{t \to \infty } \int_0^{\pi} \frac{\sin{tx}}{x} d x$$ existe y es finito?

Answer 1

Por $tx=y \implies tdx=dy$

$$\int_0^{\pi} \frac{\sin{tx}}{x} d x= \int_0^{t\pi} \frac{\sin{y}}{y} d y$$

que es efectivamente convergente por integración por partes

$$\int_0^{a} \frac{\sin{y}}{y} d y=\int_0^{1} \frac{\sin{y}}{y} d y+\int_1^{a} \frac{\sin{y}}{y} d y$$

y

$$\int_1^{a} \frac{\sin{y}}{y} d y=\left[-\frac{\cos y}{y}\right]_1^a-\int_1^{a} \frac{\cos{y}}{y^2} d y$$

y en el límite $a\to \infty$

$$\int_1^{\infty} \frac{\sin{y}}{y} d y=\frac{\cos 1}{1}-\int_1^{\infty} \frac{\cos{y}}{y^2} d y$$

y $\int_1^{\infty} \frac{\cos{y}}{y^2} d y$ converge absolutamente por prueba de comparación con $\int_1^{\infty} \frac{1}{y^2} d y$ .

Answer 2

Con $tx=z$ ,

$$\lim_{t \to \infty } \int_0^{\pi} \frac{\sin{tx}}{x} d x=\lim_{t \to \infty } \int_0^{t\pi} \frac{\sin{z}}{z} d z= \int_0^{\infty} \frac{\sin{z}}{z} d z$$

que es bien conocido por ser $\dfrac\pi2$ .

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral