Dejemos que $F$ sea un campo ordenado y $f\in F[X]$ sea un polinomio tal que $f(x)>0$ para todos $x\in K$ . ¿Es posible que haya una extensión $L\supseteq K$ de campos ordenados y $y\in L$ tal que $f(y)\leq 0$ ? Mi conjetura es que no es así, pero no encuentro una prueba para ello.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $K=F=\mathbb Q,f=(x^2-2)^2,L=\mathbb Q(\sqrt{2})$ para que $f(\sqrt{2})=0$ .
Es más interesante pedir $f(y)<0$ . Esto también es posible. Dejemos que $K=F=\mathbb Q(T)$ , donde $T$ es un indeterminado mayor que todos los elementos de $\mathbb Q$ . Dejemos que $f=(x^2-T)^2-1$ y $L=\mathbb Q(\sqrt{T})$ . Entonces $f$ es positivo en $F$ pero $f(\sqrt{T})=-1<0$ .
