Considera la ecuación:
$$\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)u(x,t)=0,\qquad(x,t\in\mathbb{R})\qquad(\star)$$
donde $c>0$ es una constante.
Entonces creo que tenemos soluciones generales de la forma
$$u(x,t)=\delta(x\pm ct),$$
que son ondas planas.
Desde una perspectiva más rigurosa, ¿cómo debo interpretar esto? ¿Significa que $(\star)$ no tiene soluciones regulares que existan como funciones y que, por tanto, nos obliguen a extendernos a la teoría de las distribuciones? En este caso, supongo que tendríamos que ponderar $\delta$ contra una función de prueba $\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R})$ para que
$$u(x,t)=\langle T_{\pm ct\ast} \delta_x,\varphi\rangle=\langle\delta_x,T_{\pm ct}^\ast\varphi\rangle=\langle\delta,\varphi\circ T_{\pm ct}\rangle,$$
para todos $\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R})$ , donde $\delta_x:\mathscr{S}(\mathbb{R})\to\mathbb{C}$ que mapea $\langle\delta_x,\varphi\rangle=\varphi(x)$ es la medida de Dirac en $x\in\mathbb{R}$ , $T_{\pm ct\ast}\in\operatorname{End}(\mathscr{S}'(\mathbb{R}))$ es la extensión del operador lineal continuo $T_{\pm ct}^\ast\in\operatorname{End}(\mathscr{S}(\mathbb{R}))$ , donde $T_{\pm ct}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es el operador de traslación que mapea $x\mapsto x\pm ct$ ?
Por supuesto, otra forma de interpretar esto es tomar la transformada de Fourier de $(\star)$ con respecto a la $t$ que da como resultado
$$\left(\Delta+\frac{\omega^2}{c^2}\right)u(x,t)=0,$$
para que
$$u(x,\omega)=e^{\pm i\omega x/c},$$
que está bien definida como función.
Supongo que básicamente estoy preguntando cómo se interpretan las ondas planas de forma matemáticamente rigurosa.
