La doble tapa de la botella Klein

Question

Intento de descubrir todas las tapas dobles de la botella Klein. Dado que la característica de Euler es multiplicativa con respecto al espacio de cobertura, sólo hay dos candidatos, es decir, el toro y la propia botella de Klein. No es difícil construir un mapeo del toro a la botella de Klein.

Mi pregunta es, ¿es posible realizar la botella Klein como una tapa doble de sí misma?

Answer 1

Para cualquier $c>0$ las relaciones $$(x,y)\sim (x, \,y+ k c)\quad(k\in{\mathbb Z}), \qquad (x,y)\sim \bigl(x+\ell,\,(-1)^\ell y\bigr) \quad(\ell\in{\mathbb Z})$$ definir una botella Klein $K_c$ de "longitud" $1$ y "anchura" $c$ como cociente del $(x,y)$ -y con un rectángulo $[0,1]\times[0,c]$ como dominio fundamental.

El mapa de identidad $\,\iota: \,{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}^2$ realiza $K_2$ como una portada doble de $K_1$ : Cada punto $(x,y)_{\sim1}\in K_1$ tiene dos preimágenes en $K_2$ , a saber $(x,y)_{\sim2}$ y $(x,y+1)_{\sim2}$ .

Answer 2

Permítanme añadir algunas anotaciones a la respuesta de @ChristianBlatter porque creo que pueden ser útiles para algunas personas para complementar su punto de vista pero quizás no sean necesarias para otros usuarios.

La idea es utilizar la familia de automorfismos $\tau(x,y) = (x,y+kc)$ , $\sigma(x,y) = (x+l,(-1)^ly)$ . Se puede ver que estos automorfismos inducen la botella de Klein en el cuadrado $[0,1] \times [0,c]$ con la ayuda de los teoremas habituales de las identificaciones topológicas. Así, tendríamos que para cada $c > 0$ el mapa $\pi_c:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2/G_c$ es un mapa de cobertura y, como es habitual, el grupo de automorfismos de estas coberturas es $G_c$ .

A continuación, puede observar que, $G_1 \le G_2$ tenemos un subgrupo de automorfismos por lo que hay un lema que podemos reutilizar aquí que dice que existe un mapeo único desde $\hat f:\mathbb{R}^2/G_2 \to \mathbb{R}^2/G_1$ dado por $G_2 \cdot y \mapsto \pi_1(y)$ (donde $\pi_1$ es la proyección al espacio orbital) y que este mapeo es un recubrimiento. Por lo tanto, si se identifica cada uno como una botella de Klein se obtiene su doble cobertura ya que cada punto tiene dos preimágenes.