Dejemos que $P^d (t,\lambda)$ sea el polinomio mónico "genérico" de grado d-ésimo $P^d (t,\lambda) = t^d + \sum\limits_{i=1}^d \lambda_i t^{d-i}$ con coeficientes reales. Sea $\lambda(\xi,\eta)$ venga dada por la ecuación $P^d(t,\lambda(\xi,\eta)) = P^l (t,\xi) P^{d-l}(t,\eta)$ . Si $P^l(t,\xi)$ y $P^{d-l}(t,\eta)$ no tienen raíces comunes (en $\mathbb C$ es decir $P^l(t,\xi)$ y $P^{d-l}(t,\eta)$ no tienen factores comunes), es $\lambda$ un difeomorfismo local en $(\xi,\eta)$ ? ¿Hay alguna manera fácil de ver esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ah, resulta que valía la pena aprender algunos conceptos básicos sobre las resultantes. La matriz $d_{(\eta,\xi)} \lambda$ es exactamente la matriz de Sylvester para los polinomios $P^l(t,\xi)$ y $P^{d-l}(t,\eta)$ . Esta matriz representa un sistema de ecuaciones lineales para encontrar polinomios $A$ y $B$ para que $A(t)P^l(t,\xi) + B(t)P^{d-l}(t,\eta) = 0$ , $deg(A) < d-l$ y $deg(B) < l$ . Los polinomios $P^l(t,\xi)$ y $P^{d-l}(t,\eta)$ tienen un factor común si y sólo si existen tales $A$ y $B$ no son ambos iguales a cero. Esto ocurre exactamente cuando el determinante de la matriz de Sylvester es cero. Si el determinante de la matriz de Sylvester es distinto de cero, entonces $P^{l}(t,\xi)$ y $P^{d-l}(t,\eta)$ no tienen ningún factor común. Pero si el determinante de $d_{(\xi,\eta)} \lambda$ es distinto de cero, entonces el mapa $\lambda$ es localmente un difeomorfismo cerca de $(\xi,\eta)$ por el teorema de la función inversa.
