Deje {en} ser un ortonormales base para un espacio de Hilbert H. Deje {fn} ser un ortonormales conjunto en H tal que ∑∞n=1‖. ¿Cómo puedo demostrar que \{f_n\} es también un ortonormales base para H?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Desde \mathcal S:=\{f_n,\;n\in\mathbb N\} es un ortonormales subconjunto de H, es suficiente para mostrar que \mathcal S^\perp=\{0\}.
Teniendo esto en mente, pick x\in H pertenecientes a \mathcal S^\perp. A continuación, para cada n\in\mathbb N ha 0=\langle x,f_n\rangle=\langle x,f_n-e_n+e_n\rangle\Rightarrow \langle x,e_n\rangle=\langle x,e_n-f_n\rangle. Ahora, desde la \{e_n\} es una base ortonormales, uno ha x=\sum_{n=1}^{+\infty}\langle x,e_n\rangle e_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\langle x,e_n-f_n \rangle e_n. Si x no 0, entonces se obtendría una contradicción de la siguiente manera: \|x\|=\sum_{n=1}^{+\infty}|\langle x,e_n-f_n\rangle|\stackrel{C.S.}{\leq}\|x\|\sum_{n=1}^{+\infty}\|e_n-f_n\|. From this last relation, one may divide out by \|x\|\neq 0 by our assumption and obtain 1\leq\sum_{n=1}^{+\infty}\|e_n-f_n\|, but this contradicts the initial hypothesis. Hence x=0 and \mathcal S^{\asesino}=\{0\}. Esto concluye la prueba.
Edit Sí, creo que necesita algunos cambios, gracias Mateo para señalarla. Ok aquí está mi revisión: \|x\|^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|\langle x,f_n-e_n \rangle|^2\leq \|x\|^2\sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|^2, again by Cauchy Schwarz, and if x\neq 0 we can divide out and obtain (\diamondsuit)\quad 1\leq \sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|^2. Now, since \sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|<1, readily implies that, for every n\in\mathbb N, \|f_n-e_n\|<1\Rightarrow \|f_n-e_n\|^2<\|f_n-e_n\|. Pero esto significa (\diamondsuit)<\sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|<1\Rightarrow 1<1. Which is absurd. Again then x=0 y llegamos a la conclusión de la misma manera como antes.