Deje $\{e_n\}$ ser un ortonormales base para un espacio de Hilbert $H$. Deje $\{f_n\}$ ser un ortonormales conjunto en $H$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty}{\|f_n-e_n\|}<1$. ¿Cómo puedo demostrar que $\{f_n\}$ es también un ortonormales base para $H$?
Respuesta
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Desde $\mathcal S:=\{f_n,\;n\in\mathbb N\}$ es un ortonormales subconjunto de $H$, es suficiente para mostrar que $\mathcal S^\perp=\{0\}.$
Teniendo esto en mente, pick $x\in H$ pertenecientes a $\mathcal S^\perp$. A continuación, para cada $n\in\mathbb N$ ha $$0=\langle x,f_n\rangle=\langle x,f_n-e_n+e_n\rangle\Rightarrow \langle x,e_n\rangle=\langle x,e_n-f_n\rangle.$$ Ahora, desde la $\{e_n\}$ es una base ortonormales, uno ha $$x=\sum_{n=1}^{+\infty}\langle x,e_n\rangle e_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\langle x,e_n-f_n \rangle e_n.$$ Si $x$ no $0$, entonces se obtendría una contradicción de la siguiente manera: $$\|x\|=\sum_{n=1}^{+\infty}|\langle x,e_n-f_n\rangle|\stackrel{C.S.}{\leq}\|x\|\sum_{n=1}^{+\infty}\|e_n-f_n\|.$$ From this last relation, one may divide out by $\|x\|\neq 0$ by our assumption and obtain $$1\leq\sum_{n=1}^{+\infty}\|e_n-f_n\|,$$ but this contradicts the initial hypothesis. Hence $x=0$ and $\mathcal S^{\asesino}=\{0\}.$ Esto concluye la prueba.
Edit Sí, creo que necesita algunos cambios, gracias Mateo para señalarla. Ok aquí está mi revisión: $$\|x\|^2=\sum_{n=1}^{+\infty}|\langle x,f_n-e_n \rangle|^2\leq \|x\|^2\sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|^2,$$ again by Cauchy Schwarz, and if $x\neq 0$ we can divide out and obtain $$(\diamondsuit)\quad 1\leq \sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|^2.$$ Now, since $$\sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|<1,$$ readily implies that, for every $n\in\mathbb N$, $$\|f_n-e_n\|<1\Rightarrow \|f_n-e_n\|^2<\|f_n-e_n\|.$$ Pero esto significa $$(\diamondsuit)<\sum_{n=1}^{+\infty}\|f_n-e_n\|<1\Rightarrow 1<1. $$ Which is absurd. Again then $x=0$ y llegamos a la conclusión de la misma manera como antes.
