Que X e Y tengan una distribución uniforme conjunta en el triángulo con vértices en $(0, 2)$ , $(2, 0)$ y el origen. Encontrar $E(Y | X = 1/2)$

Question

Así que $f(x,y) = 1/2$ en la región del triángulo. $f(x) = \int_0^{2-x}\cfrac{1}{2}dy = \cfrac{1}{2}(2-x)$ así que $f(y|x) = \cfrac{1/2}{\cfrac{1}{2}(2-x)} = \cfrac{1}{2-x}$ Así que $E(Y|X=1/2) = \int_0^2y\cfrac{1}{3/2}dy = \int_0^2\cfrac{2}{3}ydy = [\cfrac{2}{6}y^2]^2_0 = 4/3$

Pero la respuesta es $3/4$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Cuando $X = 1/2$ el soporte de la densidad condicional $$f_Y(y \mid x) = \frac{1}{2-x}$$ no está en $Y \in [0,2]$ como sugiere su integral, sino más bien, $Y \in [0, 2 - 1/2] = [0, 3/2]$ . Por lo tanto, la expresión correcta es $$\operatorname{E}[Y \mid X = 1/2] = \int_{y=0}^{3/2} y \cdot \frac{1}{3/2} \, dy = \frac{3}{4}.$$

No te habrías equivocado si hubieras utilizado las funciones de los indicadores:

$$f_Y(y \mid x) = \frac{1}{2-x} \mathbb 1 (0 \le y \le 2-x).$$

Answer 2

El triángulo es $0\leqslant y\leqslant 2-x\leqslant 2$ .

Por lo tanto, cuando se da $x=1/2$ se nos encomienda la tarea de integrar sobre el dominio $0\leqslant y\leqslant 3/2$ .

$Y$ se distribuye uniformemente sobre este dominio, por lo que la expectativa condicional que buscamos será $3/4$ .

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$$\mathsf E(Y\mid X=1/2)~=~\dfrac{\int_0^{3/2} y f(1/2, y)\,\mathrm dy}{\int_0^{3/2} f(1/2, y)\,\mathrm dy}$$