Pregunta sobre el conjunto equivalente independiente

Question

En la página 28, Introducción matemática a la lógica , Herbert B. Enderton2ed),

Digamos que un conjunto $\Sigma_1$ de wffs (abreviatura de fórmulas bien formadas) es equivalente a un conjunto $\Sigma_2$ de wffs si para cualquier $\alpha$ wff, tenemos $\Sigma_1 \vDash \alpha$ si $\Sigma_2 \vDash \alpha$ . Un conjunto es independiente si ningún miembro de $\Sigma$ está implicado tautológicamente por los restantes miembros en $\Sigma$ . Demuestre que se cumple lo siguiente.

(b) Un conjunto infinito no necesita tener un subconjunto equivalente independiente. (c) Sea $\Sigma = \{\sigma_0, \sigma_1, . . .\}$ ; demuestran que existe un conjunto equivalente independiente $\Sigma'$ . (Por la parte (b), no podemos esperar tener $\Sigma' \subseteq \Sigma $ en general).

No sé por qué un conjunto infinito no necesita tener un subconjunto equivalente independiente. Aquí está mi intento de encontrar uno con la ayuda del axioma de elección.

$\Sigma$ es un conjunto, también lo es su conjunto de potencias $P(\Sigma)$ . Así, $K =\{x \in P(\Sigma): \exists y,y \in x, y \text{ is tautologically implied by } x-\{y\}\}$ y $K'=\{x' \subseteq x \in K: \forall y,y \in x', y \text{ is tautologically implied by } x-\{y\}\}$ también son conjuntos. Sea $g : K \to K'$ tal que $g(x) \subseteq x$ Por el axioma de elección, existe una función de elección $h$ , tal que para cualquier $x \in K'$ , $h(x)\in x$ . Así que tenemos $f = h \circ g$ , de tal manera que $h(g(x)) \in x' \in K'$ y $x \subseteq x'$

Dejemos que $\sigma'_0 = f(\Sigma)$ . Dado todo $\sigma'_j (j < k)$ , $\sigma'_{k}=f(\Sigma - \{\sigma'_j: j < k\})$ siempre y cuando $g(\Sigma - \{\sigma'_j: j < q\}) \in K'$ para todos $q \le k$ .

Dicho proceso se detendrá en o antes de algún ordinal $\lambda$ porque $K'$ es un conjunto, por lo que tenemos $\Sigma - \{\sigma'_j: j \le \lambda \}$ o $\Sigma -\{\sigma'_j: j < \lambda \}$ como un subconjunto equivalente independiente de $\Sigma$ .

EDITAR : Finalmente me di cuenta de que no hay garantía de que $\Sigma - \{\sigma'_j: j \le \lambda \}$ o $\Sigma -\{\sigma'_j: j < \lambda \}$ no está vacío.

Answer 1

Considere el siguiente caso: $\Sigma$ es un conjunto independiente infinito, $\{\sigma_n\mid n\in\omega\}$ . Dejemos que $\varphi_n=\bigwedge_{i\leq k}\sigma_i$ entonces $\Phi=\{\varphi_n\mid n\in\omega\}$ es un conjunto infinito, y no es difícil ver que $\Phi$ y $\Sigma$ son equivalentes.

¿Pero qué pasa? Si $\varphi\in\Phi$ es cualquier wff, entonces $\varphi=\varphi_n$ para algunos $n\in\omega$ y claramente $\varphi_{n+1}=\varphi_n\land\sigma_{n+1}$ . Por lo tanto, $\varphi_n$ está implícito en $\varphi_k$ siempre que $k>n$ . Por tanto, no existe ningún subconjunto infinito independiente que sea equivalente a $\Phi$ . De hecho, los únicos subconjuntos independientes de $\Phi$ son monótonos.

Answer 2

¿Y si $\sigma_n\to\sigma_{n+1}$ para cada $n\in\omega$ ? Por ejemplo, ¿qué pasaría si $\sigma_n$ es el wff $\mathbf{A}_0\land\ldots\land\mathbf{A}_n$ ? Ningún subconjunto que contenga más de uno de los $\sigma_n$ es independiente.