Me gustaría saber en qué condiciones en $c,A$ sería lo siguiente (simétrico) semidefinido negativo,
$$\Delta = (A + c c^T)^{-2} - A^{-2} $$
donde $A$ es una matriz (simétrica) definida positiva donde $c$ es un vector de columnas.
Respuesta
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Supongamos que $c\ne0$ . La declaración $(A+cc^T)^{-2}\preceq A^{-2}$ equivale a $A^2\preceq(A+cc^T)^2$ que a su vez equivale a $D=\|c\|^2cc^T + (Ac)c^T + c(Ac)^T\succeq0$ . Sea $\{c,c^\perp\}$ sea una base ortogonal de un subespacio vectorial que contenga $c$ y $Ac$ . Dejemos también $Ac=\lambda c+\mu c^\perp$ . Entonces $D$ es semidefinido positivo si $\pmatrix{\|c\|^2+2\lambda&\mu\\ \mu&0}\succeq0$ , lo que significa que $\lambda\ge-\frac{\|c\|^2}2,\ \mu=0$ y $Ac=\lambda c$ . Sin embargo, como $A$ es positiva definida, si $(\lambda,c)$ es un par propio, $\lambda$ debe ser positivo. Por lo tanto, la condición $\lambda\ge-\frac{\|c\|^2}2$ es redundante.
Por lo tanto, concluimos que $(A+cc^T)^{-2}\preceq A^{-2}$ si y sólo si $c=0$ o $c$ es un vector propio de $A$ .
