Teorema
Cualquier transformación lineal $T$ de un espacio vectorial topológico de dimensión finita $V$ en otro vector topológico de dimensión finita $W$ El espacio es necesariamente continuo.
Desgraciadamente, no puedo demostrar la afirmación, así que ¿podría alguien demostrarlo? Entonces, si la afirmación es generalmente falsa, ¿es falsa si $V=\Bbb R^m$ y $W=\Bbb R^m$ ¿también? Entonces, ¿podría alguien ayudarme, por favor?
Dejemos que $T:V\longmapsto W$ una transformación lineal, y $\mathcal{B}=\{e_1,\cdots,e_n\}$ una base de V. En dimensión finita todas las normas son equivalentes, sea $||x||=\sum_{i=1}^n\vert x_i\vert$ entonces $$||f(x)||=||f(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)|| \leqslant |x_1|||f(e_1)||+...+|x_n||f(e_n)||$$ Dejemos que $M=\underset{i\in\{1,...,n\}}{sup}||f(e_i)||$ entonces $$ |x_1|||f(e_1)||+...+|x_n||f(e_n)|| \leqslant M(|x_1|+...+|x_n|)=M||x|| $$ $\implies $ $$||f(x)|| \leqslant M||x||$$
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¿Necesita que TVS $T_1$ ?
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Véase Treves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Probablemente allí se demuestre
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@user10354138 No necesariamente.
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Entonces tienes ejemplos tontos como el mapa de identidad $(\mathbb{R},\text{indiscrete})$ a $(\mathbb{R},\text{usual})$ .
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@user10354138 Umm...desafortunadamente $\Bbb R$ ¡dotado de topología indiscreta no es un espacio vectorial topológico! ¿Es esto incorrecto?
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¡No! Puesto que usted no requirió un TVS para ser $T_1$ cualquier espacio vectorial con la topología indiscreta es un TVS (ya que todo mapa a un espacio indiscreto es automáticamente continuo, en particular $+\colon X\times X\to X$ y $\cdot\colon\mathbb{R}\times X\to X$ son continuas)
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@user10354138 Vale, entonces si supongo que los espacios vectoriales topológicos deben ser $T_1$ entonces, ¿es cierto el teorema? y entonces, ¿cómo demostrarlo?
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Cualquier dimensión finita $T_1$ TVS (por lo tanto Hausdorff) debe ser la norma $\mathbb{F}^n$ para algunos $n$ y conoces los mapas lineales $\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ son continuas ( $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ).
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@user10354138 ¿Cómo es $\Bbb F^n$ ?
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@AntonioMariaDiMauro: A ver si este ayuda.
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@BrianM.Scott Lo he leído. Sin embargo no entiendo por qué un espacio vectorial topológico de dimensión finita puede estar dotado de una norma que da la misma topología . De hecho a veces hace que publique una respuesta (mira aquí ) donde pregunté esto pero desgraciadamente nadie me contestó. Entonces, ¿qué se puede decir al respecto?
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@AntonioMariaDiMauro: Bueno, echa un vistazo a la Sección $3.4$ de este PDF . En la proposición $3.17$ toma $\mathscr{X}$ ser $n$ -y que $\mathscr{Y}=\mathscr{X}$ . Cualquier base para $\mathscr{X}$ le da un isomorfismo de $\mathscr{F}^n$ a $\mathscr{X}$ y el teorema dice que es un homeomorfismo. Aquí $\mathscr{F}$ es el campo escalar, y está bastante claro por lo que dice antes en el PDF que tiene $\Bbb R$ y $\Bbb C$ en mente. Por lo tanto, en efecto sólo estás mirando el espacio normado $\mathscr{F}^n$ .