Toda transformación lineal entre dos espacios vectoriales topológicos de dimensión finita es continua.

Question

Teorema

Cualquier transformación lineal $T$ de un espacio vectorial topológico de dimensión finita $V$ en otro vector topológico de dimensión finita $W$ El espacio es necesariamente continuo.

Desgraciadamente, no puedo demostrar la afirmación, así que ¿podría alguien demostrarlo? Entonces, si la afirmación es generalmente falsa, ¿es falsa si $V=\Bbb R^m$ y $W=\Bbb R^m$ ¿también? Entonces, ¿podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Dejemos que $T:V\longmapsto W$ una transformación lineal, y $\mathcal{B}=\{e_1,\cdots,e_n\}$ una base de V. En dimensión finita todas las normas son equivalentes, sea $||x||=\sum_{i=1}^n\vert x_i\vert$ entonces $$||f(x)||=||f(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)|| \leqslant |x_1|||f(e_1)||+...+|x_n||f(e_n)||$$ Dejemos que $M=\underset{i\in\{1,...,n\}}{sup}||f(e_i)||$ entonces $$|x_1|||f(e_1)||+...+|x_n||f(e_n)|| \leqslant M(|x_1|+...+|x_n|)=M||x||$$ $\implies$ $$||f(x)|| \leqslant M||x||$$