Dame un ejemplo de un conjunto con medida de Lebesgue completa en $[0,1]$ que también sea una unión numerable de conjuntos de extensión nula.

Question

Se me pidió demostrar o dar un contraejemplo de la afirmación.

Supongamos que $P$ es un subconjunto de $[0,1]$ con medida de Lebesgue igual a $1$. Entonces $P$ no es una unión numerable de conjuntos de densidad nula.

Me doy cuenta de que hay conjuntos de densidad nula con medida positiva. Por lo tanto, no puedo deducir esto a partir de la subaditividad.

Answer 1

Aquí hay un contraejemplo:

Para cualquier $n$, existe un conjunto de Cantor gordo $C_n$ de medida $> 1 - 1/n$. Cada $C_n$ es en ninguna parte denso, ya que es cerrado y tiene interior vacío.

La unión $C_1 \cup C_2 \cup \ldots $ tiene medida uno, y es una unión numerable de conjuntos en ninguna parte densos.